Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  shihanjiu 18.4.2010 (15:14)

  a) (1 1/4)3 = (5/4)2 (do potegi drugiej dziwnie masz napisane oznaczenia ale robie wg nich)= 25/16=1 9/25
  
  b) (1 1/2)4=(3/2)3=27/8=3 3/7
  
  c) (2 1/3)4=(7/3)3=343/27= 12 19/27
  
  d) r2 7/9= r (25/9)=5/3=1 2/3
  
  e) r5 1/16=r 81/16=9/4=2 1/4
  
  f) (1 1/9)3=(10/9)2=100/81=1 19/100
  
  g) (6 2/3)4=(20/3)3= 8000/27=296 19/27
  
  h) r 2 14/25=r (64/25)=8/5=1 3/55
  
  i) r 5 16/36=r (196/36)14/6=2 2/6=2 1/3
  
  j) 3r 1 91/125= r3 (216/125)=6/5=1 1/5
  Pozdrawiam

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

• 

  0 0

  JerzyxD 18.4.2010 (17:23)

  Potęgowanie
  [edytuj]
  Przejrzana [zobacz wersję roboczą] (+/-)
  Spis treści [ukryj]
  1 Potęga naturalna
  2 Potęga całkowita
  3 Pierwiastek, potęga wymierna
  4 Potęga rzeczywista
  4.1 Funkcja wykładnicza
  4.2 Ujemna podstawa
  5 Liczby zespolone
  5.1 Wykładnik zespolony
  5.2 Potęga zespolona
  6 Funkcja potęgowa
  7 Własności
  8 Zero do potęgi zerowej
  8.1 Historia różnych punktów widzenia
  8.2 Języki programowania i kalkulatory
  9 Notacja
  9.1 Funkcje
  9.2 Programowanie
  10 Uogólnienia
  10.1 Macierze
  10.2 Zbiory i liczby kardynalne
  10.3 Wielokrotne potęgowanie
  11 Zastosowania
  12 Algorytmika
  13 Przypisy
  14 Zobacz też
  Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy[1], nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
  Na przykład:
  
  gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.
  Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości a wynosi a2, a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa a3.
  Potęga naturalna [edytuj]
  
  Niech a oraz n będą liczbami naturalnymi. Symbol an oznacza wtedy n-krotne mnożenie elementu a przez siebie, czyli
  
  i czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi lub nawet a do n-tej. W szczególności
  
  (1)
  Z definicji potęgi wynika, iż 0n = 0 oraz 1n = 1 dla dowolnego .
  Definicja ta ma sens, jeżeli elementy a pochodzą ze zbioru, w którym istnieje dobrze określone mnożenie (bądź składanie, zob. definicję grupy) elementów: najmniejsze wymagania względem niego, to bycie dwuargumentowym działaniem łącznym. W szczególności a może być również elementem dobrze znanych struktur takich jak liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, czy zespolone.
  Zasadniczą własnością potęgi jest, iż dla dowolnych zachodzi
  .
  (2)
  Wynika ona z faktu, że
  
  W tym przypadku 0 można zaliczyć do liczb naturalnych: ponieważ
  ,
  to przyjmuje się, że
  a0 = 1
  (3)
  Przypadek 00 nie jest jednoznaczny, omówiono go oddzielnie w dalszej części artykułu.
  Potęga całkowita [edytuj]
  
  Definicję potęgowania łatwo rozszerza się na wykładniki ujemne: wyżej wystarczy przyjąć, iż . Z powyższych obserwacji wynika, iż
  
  Z definicji elementu odwrotnego wynika, że , o ile a należy do zbioru, w którym określono dzielenie. Oczywiście (konieczne jest i wystarczy, by a było elementem odwracalnym). Ogólniej:
  
  dla .
  Warto zauważyć, że dla prawdziwa jest również własność
  .
  (4)
  Pierwiastek, potęga wymierna [edytuj]
  
  Własność (4) jest prawdziwa także dla wykładników wymiernych. Niech będą względnie pierwsze, przy czym n > 0, wówczas jest ułamkiem nieskracalnym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby nieujemnej a nazywa się rozwiązanie równania xn = a. Oznacza się je symbolem , a zamiast pisze się zwykle po prostu . Jeżeli 0 > a, to pierwiastkiem stopnia nieparzystego k nazywamy liczbę . Dla k-parzystego taki pierwiastek nie istnieje. Pierwiastek k-tego stopnia z liczby a oznaczamy również jako a1 / k
  Powyższe obserwacje podsumowuje wzór
  ,
  (5)
  z którego widać, iż podniesienie elementu do potęgi 1 / n znosi działanie potęgi o wykładniku n, zatem pierwiastkowanie można traktować jako działanie odwrotne względem an.
  W ten sposób definiuje się potęgę o wykładniku wymiernym wzorem
  
  (6)
  dla wszystkich m,n dla których ma on sens (patrz dalej).
  Potęga rzeczywista [edytuj]
  
  
  Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7
  Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.
  Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy'ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga xy dla nieujemnych , oraz . Jeżeli y jest liczbą niewymierną, tzn. , to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych o granicy w y i przyjąć
  
  Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1-6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako
  .
  W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.
  Funkcja wykładnicza [edytuj]
  Osobny artykuł: funkcja wykładnicza.
  Jeżeli a > 0, to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)):
  
  definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą[2] funkcję , gdzie dla której zachodzi
  .
  Funkcję fa nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a. Z powodu dogodnych własności liczby e (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) exp może być zadana za pomocą szeregu potęgowego
  ,
  który jest zbieżny dla dowolnego (a nawet ). Zachodzą własności (1-6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2-3):
  
  oraz
  .
  Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji exp oraz tego, iż
  .
  Mając daną funkcję wykładniczą definiuje się funkcję logarytmu naturalnego ln(x), będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do exp(x)[3] dla (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem
  ,
  który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla x > 0 oraz .
  Ujemna podstawa [edytuj]
  Równanie xn = a nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a < 0 oraz parzystego n, choć ma jedno dla n nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista x będąca rozwiązaniem równania x2 = − 1, dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej i będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.
  Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ ex > 0 dla dowolnej , stąd dla liczba lny nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych wybierając logarytm zespolony z y.
  Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja f(x) = ax ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego a > 0, lecz okazuje się, że jeżeli a < 0, to funkcja f nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.
  Na przykład, jeśli a = − 1, to pierwiastkiem n-tego stopnia z − 1 dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n > 0 jest − 1. Niech n będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas ( − 1)m / n = − 1 dla m nieparzystych i ( − 1)m / n = 1 dla m parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych q, dla których ( − 1)q = 1 jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych q, dla których ( − 1)q = − 1, co oznacza, że funkcja ( − 1)q jest nieciągła w dowolnym punkcie q należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.
  Liczby zespolone [edytuj]
  
  Wykładnik zespolony [edytuj]
  
  
  Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1 + z/N)N, dla N dążącego do nieskończoności, stąd eiπ jest granicą ciągu (1 + iπ/N)N. W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości N. Wartość (1 + iπ/N)N jest przedstawiona jako wynik N kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg (1 + iπ/N)N dąży do −1 wraz ze wzrostem N. Stąd eiπ = −1, równanie to znane jest jako tożsamość Eulera.
  Kluczem do zrozumienia exp(ix) dla rzeczywistych wartości x jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby e, czyli funkcji wykładniczej exp. Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach . Dla dużych wartości n jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej radianów. Trójkąty są podobne dla wszystkich k. Stąd dla dużych n punkt graniczny ciągu jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi x radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są 1 = (r,θ) = (1,x), a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para (cosx,sinx). W ten sposób 1 = eix = cosx + isinx. Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.
  Rozwiązaniem równania ez = 1 są całkowite wielokrotności 2πi:
  .
  Ogólniej, jeśli eb = a, to każde rozwiązanie ez = a może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności 2πi do b:
  .
  Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym 2πi.
  Ostatecznie:
  ,
  .
  Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:
  .
  Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:
  .
  W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.
  Potęgę oblicza się jako , gdzie czynnik rzeczywisty jest modułem, zaś to kierunek (wraz ze zwrotem, nazywany jest argumentem) liczby .
  Potęga zespolona [edytuj]
  
  Ta sekcja wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
  Należy w niej poprawić/wykonać działania: opisać dokładniej logarytm i pierwiastki z jedynki.
  Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
  Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.
  Jeżeli a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a z dowolną liczbą zespoloną, to potęgę az definiuje się wzorem
  ,
  gdzie x = lna jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania ex = a.
  Jeżeli a jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej ln(x) jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi 2kπi dla , to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie miewając nieskończoną liczbę wartości.
  Niech z = Ln(x) będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu x, wówczas:
  ,
  czyli moduł xy wynosi wtedy , zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości 2kπy. Potęga będzie miała n wartości tylko wtedy, gdy y = c / n, gdzie c i n są względnie pierwsze). Jeżeli , to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre'a.
  Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym 00 i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.
  .
  Funkcja potęgowa [edytuj]
  
  Osobny artykuł: funkcja potęgowa.
  Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór (5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość, monotoniczność na przedziałach).
  Własności [edytuj]
  
  
  Ta sekcja wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
  Należy w niej poprawić/wykonać działania: opisać dokładnie założenia poszczególnych własności.
  Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
  Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.
  Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np. . Nie jest także łączne, np. , lecz .
  Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:
  ,
  .
  Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również
  .
  Jeżeli as jest elementem odwracalnym, to
  .
  Dla r = 0 powyższy wzór oznacza:
  .
  Jeżeli tak b jak i br są odwracalne, to
  
  Podstawa Wykładnik Potęga
  całkowita dodatnia całkowity nieujemny całkowita dodatnia
  całkowita całkowity nieujemny całkowita
  wymierna dodatnia całkowity wymierna dodatnia
  niewymierna dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia[4]
  algebraiczna wymierny algebraiczna
  algebraiczna różna od 0 i 1 zespolony, który nie jest liczbą wymierną przestępna[5]
  przestępna wymierny różny od 0 przestępna
  rzeczywista dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia
  rzeczywista ujemna rzeczywisty zespolona[6]
  zespolona całkowity zespolona (jednoznaczna)
  zespolona wymierny zespolona (skończenie wiele wartości)
  zespolona zespolony nie będący liczbą wymierną zespolona (nieskończenie wiele wartości)
  Zero do potęgi zerowej [edytuj]
  
  
  
  y; czerwone krzywe dają różne granice, gdy (x, y) dąży do (0, 0), podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy 1.
  Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi 00, lecz dochodzą do różnych wniosków, czy definiować wyrażenie 00, czy też nie (zob. następną podsekcję).
  W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 00 jako 1 upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:
  postrzeganie 00 jako iloczynu pustego zer sugeruje wartość równą 1;
  interpretacją kombinatoryczną 00 jest liczba pustych krotek elementów zbioru pustego: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
  równoważnie interpretacją teoriomnogościową 00 jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – funkcja pusta[7];
  znacząco upraszcza teorię wielomianów i szeregów potęgowych dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako ax0 dla dowlnego x, np.
  wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
  dla dzielników zera (elementów pierścieni spełniających , ale ab = 0) z własności potęgowania otrzymuje się 1 = a0b0 = (ab)0 = 00;
  tożsamości postaci i nie są poprawne dla x = 0, jeśli .
  twierdzenie o dwumianie nie jest poprawne dla x = 0, jeżeli [8];
  w rachunku różniczkowym wzór na różniczkę jednomianu nie jest poprawny dla n = 1 w punkcie x = 0, gdy .
  Z drugiej strony 00 musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:
  jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 (gdy t zbiega do liczby rzeczywistej bądź ), gdzie f(t) > 0, to funkcja f(t)g(t) nie musi zbiegać do 1. Rzeczywiście, w zależności od f i g granica f(t)g(t) może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[9]
  Przykładowo funkcje niżej są postaci f(t)g(t), gdzie dla (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:
  .
  Tak więc 00 jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja xy dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze {(x,y):x > 0}, nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym (0,0), nie ważne jak zdefiniuje się 00[10].
  Funkcja zz jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z przez wybranie gałęzi logz i przyjęcie zz: = ezlogz, ponieważ nie ma gałęzi logz zdefiniowanej w z = 0, tylko w otoczeniu zera[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z zz dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z.
  Historia różnych punktów widzenia [edytuj]
  Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:
  Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość 00 zależy od kontekstu, przez co zdefiniowanie jej raz na zawsze jest problematyczne[12]. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), „The choice whether to define 00 is based on convenience, not on correctness.”[13] (Wybór czy definiować 00 jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
  Inni twierdzą, że 00 jest równe 1. Zgodnie ze s. 408 pracy Knutha (1992), „[it] has to be 1” (musi być równa 1), choć kontynuuje on dalej „Cauchy had good reason to consider 00 as an undefined limiting form” (Cauchy miał dobry powód, by uważać 00 za nieokreśloną postać graniczną) oraz „in this much stronger sense, the value of 00 is less defined than, say, the value of 0 + 0” (w tym dużo silniejszym sensie wartość 00 jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość 0 + 0; wyróżnienia oryginalne)[14]
  Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że 00 = 1, jednak w 1821 Cauchy[15] umieścił 00 wraz z wyrażeniami postaci w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri[16][17] opublikował nieprzekonujący dowód, iż 00 = 1, w czym wsparł go Möbius[18] błędnie twierdząc, że , jeżeli Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład (e − 1 / t)t (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów przyjmując a = 1), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż 00 nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992)[14].
  Języki programowania i kalkulatory [edytuj]
  Wśród języków programowania komputerów, które przypisują 00 wartość 1[19], można wymienić bc, Haskell, J, Java, JavaScript, LISP, MATLAB, ML, Perl, PHP, Python, R, Ruby, Scheme, czy SQL. W .NET Framework metoda System.Math.Pow traktuje 00 jak 1.
  Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel generuje błąd przy próbie wyznaczenia 00, podczas gdy OpenOffice.org w wersji 3 zwraca 1. Google Docs Spreadsheet również zwraca 1.
  Kalkulator systemu Microsoft Windows, Google search[20] oraz Derive obliczają 00 równe 1.
  Maple upraszcza a0 do 1, zaś 0a do 0 nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na a (uproszczenia te są poprawne tylko dla , z kolei 00 ma wartość 1.
  Mathematica upraszcza a0 do 1 nawet, gdy brak ograniczeń dla a. Nie upraszcza jednak 0a i przyjmuje, iż 00 jest symbolem nieoznaczonym.
  Sage upraszcza a0 do 1 nawet, jeżeli nie nie ograniczono w żaden sposób a. Nie upraszcza 0a i przyjmuje, że 00 ma wartość 1.
  Kalkulator TI-84 zwraca błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania 00, lecz TI-89 zwraca 1. TI-89 Titanium zwraca wartość undef.
  Notacja [edytuj]
  
  Jak wspomniano na początku potęgowanie zapisuje się jest zwykle umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. xy. Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy , x * * y lub .
  W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba e (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu ex stosuje się często zapis exp(x) (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby e pokrywają się z wartościami funkcji exp.
  Funkcje [edytuj]
  Choć zapis fn(x) dla może oznaczać (f(x))n, czyli potęgę obrazu (patrz niżej), to jednak jeśli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie, to zapis fn(x) oznacza zwykle n-krotne złożenie funkcji samej ze sobą, czyli jej n-tą iterację, tzn.
  
  lub dokładniej
  .
  Wtedy w szczególności, f − 1 oznacza funkcję odwrotną do funkcji f, oznaczeniem tym zapisuje się również przeciwobraz funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.
  W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której sinnx oznacza (sinx)n dla n > 0 oraz sin − 1x = arcsinx. Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: log3(x) = (logx)3.
  Z kolei podobny zapis f(n)(x) oznacza najczęściej n-tą pochodną funkcji.
  Programowanie [edytuj]
  Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych językach programowania:
  x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
  x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
  x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
  x * y: APL
  Power(x, y): Microsoft Excel, Pascal[potrzebne źródło]
  pow(x, y): C, C++, PHP
  Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
  Math.Pow(x, y): C#
  (expt x y): Common Lisp, Scheme
  Uogólnienia [edytuj]
  
  Macierze [edytuj]
  Osobne artykuły: potęgowanie macierzy, eksponenta macierzy.
  Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami macierz jednostkowa.
  Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję exp wzorem
  
  Tak jak dla liczby rzeczywistych, czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.
  Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć wartości expx na przekątnej: jeżeli
  
  to
  
  Jeżeli i jest diagonalna, to:
  
  Dla macierzy nilpotentnej wartość można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:
  ,
  jeśli
  Zbiory i liczby kardynalne [edytuj]
  Zapis An, gdzie A jest zbiorem, a n liczbą naturalną oznacza najczęściej n-krotny iloczyn kartezjański zbioru A.
  Zapis AB, gdzie A i B są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich funkcji f o dziedzinie B i przeciwdziedzinie A. Zastępując zbiory ich mocami otrzymuje się definicje potęgowania liczb kardynalnych.
  Wielokrotne potęgowanie [edytuj]
  Osobny artykuł: notacja strzałkowa.
  
  Zasugerowano, aby ten artykuł (lub sekcję) zintegrować z artykułem notacja strzałkowa. (dyskusja)
  Czasem rozważa się wielokrotne potęgowanie oznaczane dwiema strzałkami:
  ,
  ,
  
  itd. Ogólnie:
  .
  Używając związku wynikającego z definicji działania, można zdefiniować dla .
  
  Potwierdza to intuicyjne rozumienie jako n. Obliczenie kolejnych wartości jest niemożliwe, ponieważ nie jest określone wyrażenie logn0.
  Ponieważ nieokreślony jest także symbol log11 (gdyż log11 = ln1 / ln1 = 0 / 0), to powyższe wzory nie są poprawne dla n = 1. Stąd napis jest symbolem nieoznaczonym. Można natomiast przyjąć, że .
  Powtarzanie procesu wielokrotnego potęgowania z kolei prowadzi do definicji funkcji Ackermanna.
  Zastosowania [edytuj]
  
  
  Ta sekcja wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
  Należy w niej poprawić/wykonać działania: Sekcja wymaga poszerzenia.
  Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
  Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.
  Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI, w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych.
  Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w informatyce często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład 2n jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z n bitów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich n). Z tego powodu zwykle operuje się też wielokrotnościami liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy oktet (lub bajt), szesnaście – słowo. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. kilobajt to 1 024, a nie 1 000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. przedrostki dwójkowe).
  Funkcji wykładnicza exp, czyli funkcja wykładnicza o podstawie e, jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.
  Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.
  Algorytmika [edytuj]
  
  Złożoność obliczeniowa naiwnego algorytmu potęgowania (zob. wzór po (2)) wynosi . Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany algorytmem szybkiego potęgowania, korzystający z własności dwójkowego systemu liczbowego, którego złożoność obliczeniowa jest rzędu .

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

• 

  0 0

  Oleeenka 20.4.2010 (14:10)

  a) (1 1/4)3 = (5/4)2 = 25/16=1 9/25
  
  b) (1 1/2)4=(3/2)3=27/8=3 3/7
  
  c) (2 1/3)4=(7/3)3=343/27= 12 19/27
  
  d) r2 7/9= r (25/9)=5/3=1 2/3
  
  e) r5 1/16=r 81/16=9/4=2 1/4
  
  f) (1 1/9)3=(10/9)2=100/81=1 19/100
  
  g) (6 2/3)4=(20/3)3= 8000/27=296 19/27
  
  h) r 2 14/25=r (64/25)=8/5=1 3/55
  
  i) r 5 16/36=r (196/36)14/6=2 2/6=2 1/3
  
  j) 3r 1 91/125= r3 (216/125)=6/5=1 1/5
  nie jestem pewna ba szybko0 robiłam,

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie