Treść zadania

Rozwiązania

• 

  4 0

  antekL1 26.4.2021 (16:03)

  Oznaczenia:
  Dx, Dy - pierwsze pochodne cząstkowe odpowiednio po x i po y
  Dxx - druga pochodna po x i powtórnie po x
  Dxy = Dyx - druga pochodna po x i potem po y
  Dyy - druga pochodna po y i powtórnie po y
  
  Znajdujemy pierwsze pochodne, porównujemy do zera, rozwiązujemy powstający układ równań. Jeli rozwiązania istnieją to liczymy macierz drugich pochodnych w postaci:
  Dxx Dxy
  Dyx Dyy
  i patrzymy na jej wyznacznik w punktach podejrzanych o ekstremum.
  ------------------------------
  
  1) f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2
  Dx = 4x^3 - 4x + 4y = 0
  Dy = 4y^3 -4y + 4x = 0
  ---------------------------------- sumujemy stronami
  4(x^3 + y^3) = 0
  
  Rozwiązania muszą więc leżeć na prostej y = -x.
  Wstawiamy y = -x np. do pierwszego równania. Dzielimy przez 4
  x^3 - 2x = 0 ; stąd
  x (x^2 - 2) = 0
  
  Punkty podejrzane o ekstremum: A(-√2; √2), B(√2; -√2), C(0;0)
  Liczymy drugie pochodne cząstkowe.
  Dxx = 12x^2 - 4
  Dxy = Dyx = 4
  Dyy = 12y^2 - 4
  
  Macierz M drugich pochodnych w puntach A i B
  20 4
  4 20
  Wyznacznik tej macierzy jest dodatni i wyraz M(1,1) > 0.
  Punkty A(-√2; √2), B(√2; -√2) to minima lokalne
  
  W punkcie C macierz M ma postać:
  -4 4
  4 -4
  Wyznacznik det(M) = 0 : nie wiemy, czy istnieje ekstremum.
  Funkcja f(0;0) = 0. Weźmy punkty (x;y) na prostej y = x.
  Funkcja ma postać: f1(x) = x^4 + x^4 - 2x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 2x^4
  Teraz weźmy punkty na prostej y = -x.
  Funkcja ma postać: f2(x) = x^4 + x^4 - 2x^2 - 2x^2 - 4x^2 = 2x^4 - 8x^2
  Pierwsza z funkcji f1, f2 ma minimum gdy x ---> 0. Druga ma maksimum.
  Wniosek: punkt C(0;0) NIE jest ekstremum lecz punktem siodłowym.
  =====================================
  
  
  2) f(x,y)=(x+y)^2-(x+5y+xy)
  Pochodne:
  Dx = 2(x+y) - (1 + y) = 2x + y - 1 = 0
  Dy = 2(x + y) - (5 + x) = x + 2y - 5 = 0
  
  Ten układ równań ma rozwiązanie w punkcie A(-1; 3)
  Drugie pochodne:
  Dxx = 2
  Dxy = Dyx = 1
  Dyy = 2
  Macierz M drugich pochodnych w punkcie A
  2 1
  1 2
  Wyznacznik > 0, M(1,1) > 0 czyli w punkcie (-1;3) jest minimum, lokalne
  ======================================
  
  3) f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5
  Pochodne:
  Dx = 2x + y - 6 = 0
  Dy = 2y + x - 4 = 0
  Ten układ równań ma rozwiązanie w punkcie A(8/3; 2/3)
  Drugie pochodne:
  Dxx = 2
  Dxy = Dyx = 1
  Dyy = 2
  Macierz M wygląda jak w poprzednim przykładzie czyli
  w punkcie (8 / 3; 2 / 3) jest minimum, lokalne
  =============================================

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj