Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 10.4.2021 (14:57)

  Nie odpowiadasz na komentarz więc masz rozwiązanie.
  
  Na loterii mamy 40% losów wygrywających, 50% losów przegrywających oraz 10% losów „Graj dalej” – pozwalających na wyciągnięcie następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? (podpowiedź: prawdopodobieństwo całkowite)
  
  
  Mamy dwa zdarzenia:
  G - losem możemy wygrać (niekoniecznie na pewno) lub przegrać
  W - wyciągamy los, czyli w ogóle gramy
  
  Wygrana jest iloczynem zdarzeń G n W. [ Znaczek "n" to iloczyn zdarzeń ]
  
  Zdarzenie W dzielimy na rozłączne zdarzenia W1, W2, W3 następująco:
  W1 - los jest wygrywający. Prawdopodobieństwo p(W1) = 40% = 0.4
  W2 - los jest "Graj dalej". Prawdopodobieństwo p(W2) = 10% = 0.1
  W3 - los jest przegrywający. Prawdopodobieństwo p(W3) = 50% = 0.5
  
  Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite dostajemy (ze względu na to, że
  W = W1 u W2 u W3 [ znaczek "u" to suma zdarzeń ]
  
  p(G n W) = p [ G n (W1 u W2 u W3) ] = p(G n W1) + p(G n W2) + p(G n W3)
  i dalej, rozpisując p(G n Wx)
  
  p(G n W) = p(G | W1) * p(W1) + p(G | W2) * p(W2) + p(G | W3) * p(W3)
  
  gdzie P(Wx) już wypisałem powyżej, natomiast pozostałe wyrazy to:
  p(G | W1) - szansa na wygraną POD WARUNKIEM że los jest wygrywający.
  Ta szansa wynosi 1
  p(G | W2) - szansa na wygraną POD WARUNKIEM że los jest typu "Graj dalej"
  Ta szansa wynosi "x" ( gdzie 0 <= x <= 1) i zależy od naszej decyzji.
  Patrz dalej, do czego przyda się ten "x"
  p(G | W3) - szansa na wygraną POD WARUNKIEM że los jest przegrywający.
  Ta szansa wynosi 0.
  
  Sumując mamy:
  p(G n W) = 1 * 0.4 + x * 0.1 + 0 * 0.5
  --------------------
  
  Są dwa możliwe scenariusze dalszego losowania (o to pytałem w komentarzu).
  Pierwszy:
  Losujemy "ad usrandum" czyli jeśli mamy los "Graj dalej" to gramy, możliwe, że nawet nieskończoną ilość razy. Zauważ, że każde kolejne losowanie daje IDENTYCZNĄ szansę na wygraną jak poprzednie losowanie, czyli za p(G n W) możemy podstawić "x", co prowadzi do równania:
  
  x = 1 * 0.4 + x * 0.1 + 0 * 0.5 ; stąd:
  x = 4 / 9
  Nasze szukane prawdopodobieństwo to "x", czyli jest równe 4 / 9 = 0,444(4)
  
  Drugi:
  Kończymy grę po N próbach i w N-tej próbie wyrzucamy los "Graj dalej".
  Weźmy N = 3.
  W trzeciej próbie szansa przegranej rośnie do 0.5 + 0.1 = 0.6 i mamy
  p3(G n W) = 1 * 0.4 + 0 * 0.6 = 0,4. To jest nasz "x" do drugiej próby.
  W drugiej próbie mamy:
  p2(G n W) = 1 * 0.4 + 0.4 * 0.1 + 0 * 0.5 = 0.44 (MNIEJ niż 4/9)
  To jest nasz "x" do pierwszej próby.
  p1(G n W) = 1 * 0.4 + 0.44 * 0.1 + 0 * 0.5 = 0.444 (MNIEJ niż 4/9)
  
  Jak widzisz przerwanie gry po N próbach ZAWSZE daje gorszy wynik niż 4/9,
  w tym wypadku ułamek 0.44444... <--- liczba czwórek = liczba prób
  dość szybko zbiega do teoretycznej nieskończonej ilości prób.
  =====================
  
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    kamyczek33 10.4.2021 (16:23)

    dziękuję za obszerne wytłumaczenie zadania, pozdrawiam