Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.3.2021 (15:18)

  Tor ruchu i jego wygląd:
  Bierzemy sumę kwadratów x/3 i y/2. Wtedy:
  
  (x/3)^2 + (y/2)^2 = sin^2(4t) + cos^2(4t) = 1; mamy równanie elipsy:
  
  (x/3)^2 + (y/2)^2 = 1
  
  Ta elipsa przechodzi przez punkty: (3;0), (-3;0), (0;2), (0;-2). Naszkicuj ją :)
  Umówmy się, że oś OX jest pozioma, a oś OY pionowa, to mi ułatwi opis ruchu :)
  ------------------
  
  Położenie w chwili t = 0. Podstawiamy t=0 do wzorów na x(t) i y(t).
  x(0) = 0 ; y(0) = 2 ; czyli punkt zaczyna ruch w pozycji (0; 2).
  Przy okazji (to nie należy do zadania, ale tak z ciekawości)
  Jeśli weźmiemy malutki czas delta_t od chwili t=0 to sin4t będzie dodatni,
  a cos4t nieco mniejszy od 1. Czyli punkt A poruszy się ZGODNIE z kierunkiem
  wskazówek zegara.
  
  Po czasie T gdzy zajdzie równość: 4T = 2 pi, czyli T = pi/2
  punkt wróci do początkowego położenia. Masz okres T obiegu tej elipsy.
  ------------------
  
  Prędkość: wektor [Vx, Vy]. Różniczkujemy po czasie x(t) i y(t). Mamy:
  
  [Vx, Vy] = [ 12cos4t; - 8sin4t ] (minus przy sinusie, nie przegap!)
  
  Zobaczmy, co dzieje się w czasie t = 0. Mamy: [Vx, Vy] = [ 12; 0 ]
  Czyli wektor prędkości jest skierowany poziomo w prawo, co zgadza się z tym, co pisałem wyżej dla małych czasów delta_t :)
  Gdy minie 1/4 okresu T to argumenty sinusa i kosinusa staną się równe pi/2.
  Czyli będzie : [Vx, Vy] = [ 0; -8 ]. Ruch pionowo w dół. Też się zgadza, bo punkt porusza się zgodnie z zegarem.
  W ten sposób możemy zobaczyć koerunki prędkości po czasach T/2 i 3T/4.
  ------------------
  
  Przyspieszenie: wektor [Ax, Ay]. Różniczkujemy po czasie [Vx, Vy]. Mamy:
  
  [Ax, Ay] = [ - 48sin4t; - 32cos4t ] (minusy są przy Ax i też przy Ay)
  
  W chwili t=0 mamy [Ax;Ay] = [0; -32], czyli wektor przyspieszenia jest skierowany pionowo w dół i PROSTOPADŁY do prędkości. Ale NIE jest to przyspieszenie dośrodkowe (jak w ruchu po okręgu) bo wektory V i A w ogólności NIE są prostopadłe.
  Są one prostopadłe jedynie gdy punkt A przecina osie współrzędnych.
  Poza zadaniem: MUSI na punkt działać siła o zmiennej w czasie wartości, wymuszająca jego ruch po elipsie. Ta siła działa najczęściej pod kątem RÓŻNYM od 90 stopni do wektora prędkości
  ------------------
  
  Promień krzywizny R dla t=0.
  Promień ten można policzyć ze wzoru:
  
  An = V^2 / R ; gdzie:
  V^2 - kwadrat wektora prędkości, An - składowa przyspieszenia prostopadła do toru.
  
  Na szczęście dla t=0 wektor An to całe przyspieszenie, An = 32 (wartość bezwzględna)
  V^2 = 12^2 = 144, czyli
  
  32 = 144 / R ; stąd: R = 144 / 32 = 9 / 2
  ===============================================
  PS: W razie pytań, albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.
  PS1: Zastanawiałem się, dlaczego ten promień krzywizny nie wychodzi mi równy 2 ??
  Odległość punktu (0; 2) od środka elipsy to 2, więc okrąg o promieniu 2 i środku w (0;0)
  będzie styczny do elipsy.
  ALE: kto mówi, że środek tego okręgu stycznego ma być w środku elipsy ??
  Ten okrąg opisujący krzywiznę ma "jak najbardziej" pasować do elipsy, a ona jest "spłaszczona" - zobacz szkic toru punktu. Na przykład gdy punkt jest w pozycji (3; 0) to elipsa jest bardzo zakrzywiona i na pewno nie pasuje do okręgu o promieniu 3 i środku w (0;0). To mnie uspokoiło :) :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie