Zadanie 8.
Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej i sprawdzamy, że punkt ten nie należy do niej. Wobec tego leży on na prostej prostopadłej do podanej, a długość boku kwadratu jest równa odległości punktu A od podanej prostej.
Jeśli mamy punkt (x0,y0) i prostą Ax + By + C = 0 to ta odległość wynosi:
d = (A x0 + B y0 + C) / pierwiastek(A^2 + B^2)
Pole kwadratu jest kwadratem liczby d, czyli wynosi:
P = (A x0 + B y0 + C)^2 / (A^2 + B^2)
U nas: x0=6, y0 = -9, A=4, B=-3, C=9 więc:
P = (4*6 + 3*9 + 9)^2 / (4^2 + 3^2) = 144 <-------- tę liczbę wpisujemy.
=====================================
Zadanie 9.
Dzielimy licznik i mianownik przez x^3 i dostajemy:
[ (k^2 - k) + 5/x ] / [ k + (k + 2) / x ]
Granicą tego wyrażenia jest (k^2 - k) / k
Jeżeli k <> 0 skracamy to przez k i mamy k - 1 = 5 / 2 ; stąd:
k1 = 7/2 <----- jedna z możliwych wartości "k"
Jeśli k = 0 to ułamek sprowadza się do 5x^2 / (2x^2) = 5/2 dla dużych x.
Stąd mamy k2 = 0 <--------- drugie rozwiązanie
Suma k1 + k2 = 7/2 + 0. Jej odwrotność to 2/7 = 0,285....
Wpisujemy wytłuszczone 3 cyfry.
=====================================
Zadanie 10.
Kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 3 to: 3n+1; 3n+2
Suma ich sześcianów:
S = (3n+1)^3 + (3n+2)^3 = 54n^3 + 81n^2 + 45n + 9 ; co zapisujemy jako:
S = 9 (6n^3 + 9n^2 + 4n + 1)
Skoro n jest liczbą naturalną (lub n = 0) to wyrażenie w nawiasie także
jest liczbą naturalną równą m, czyli suma S = 9m
czyli S jest podzielna przez 9. c.b.d.o
=====================================
Zadanie 11.
Rozpisujemy symbole Newtona po obu stronach.
Lewa strona:
L = k * n! / ([ k! * (n-k)! ]
Prawa strona:
P = n * (n-1)! / [ (k-1)! * (n - k)! ]
Licznik w tym ułamku to n!,
mnożymy licznik i mianownik przez k (zamienia to (k-1)! w k!)
i mamy P = k * n! / [ k! * (n-k)! ] czyli P = L c.b.d.o.
=====================================
lub
zarejestruj nowe konto.
1 0
antekL1 6.1.2021 (11:44)
Zadanie 8.
Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej i sprawdzamy, że punkt ten nie należy do niej. Wobec tego leży on na prostej prostopadłej do podanej, a długość boku kwadratu jest równa odległości punktu A od podanej prostej.
Jeśli mamy punkt (x0,y0) i prostą Ax + By + C = 0 to ta odległość wynosi:
d = (A x0 + B y0 + C) / pierwiastek(A^2 + B^2)
Pole kwadratu jest kwadratem liczby d, czyli wynosi:
P = (A x0 + B y0 + C)^2 / (A^2 + B^2)
U nas: x0=6, y0 = -9, A=4, B=-3, C=9 więc:
P = (4*6 + 3*9 + 9)^2 / (4^2 + 3^2) = 144 <-------- tę liczbę wpisujemy.
=====================================
Zadanie 9.
Dzielimy licznik i mianownik przez x^3 i dostajemy:
[ (k^2 - k) + 5/x ] / [ k + (k + 2) / x ]
Granicą tego wyrażenia jest (k^2 - k) / k
Jeżeli k <> 0 skracamy to przez k i mamy k - 1 = 5 / 2 ; stąd:
k1 = 7/2 <----- jedna z możliwych wartości "k"
Jeśli k = 0 to ułamek sprowadza się do 5x^2 / (2x^2) = 5/2 dla dużych x.
Stąd mamy k2 = 0 <--------- drugie rozwiązanie
Suma k1 + k2 = 7/2 + 0. Jej odwrotność to 2/7 = 0,285....
Wpisujemy wytłuszczone 3 cyfry.
=====================================
Zadanie 10.
Kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 3 to: 3n+1; 3n+2
Suma ich sześcianów:
S = (3n+1)^3 + (3n+2)^3 = 54n^3 + 81n^2 + 45n + 9 ; co zapisujemy jako:
S = 9 (6n^3 + 9n^2 + 4n + 1)
Skoro n jest liczbą naturalną (lub n = 0) to wyrażenie w nawiasie także
jest liczbą naturalną równą m, czyli suma S = 9m
czyli S jest podzielna przez 9. c.b.d.o
=====================================
Zadanie 11.
Rozpisujemy symbole Newtona po obu stronach.
Lewa strona:
L = k * n! / ([ k! * (n-k)! ]
Prawa strona:
P = n * (n-1)! / [ (k-1)! * (n - k)! ]
Licznik w tym ułamku to n!,
mnożymy licznik i mianownik przez k (zamienia to (k-1)! w k!)
i mamy P = k * n! / [ k! * (n-k)! ] czyli P = L c.b.d.o.
=====================================
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie