Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2020 (19:01)

  Zacznijmy od stwierdzenia, że dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez 0.
  D = R / {0}
  
  Pierwsza pochodna f ' (x) = 1/2 + 2/x^2
  
  Jest ona ZAWSZE dodatnia w dziedzinie D, więc f(x) jest ZAWSZE rosnąca.
  Patrz proszę wykres w załączniku (osie X i Y są w różnej skali)
  Dla bardzo ujemnych lub bardzo dodatnich wartości x MOŻNA POMINĄĆ składnik 2/x
  Z kolei dla x bliskich 0 pomijamy składnik x/2.
  Wobec tego dla dużych wartości |x| (wartość bezwzględna)
  wykres funkcji przypomina prostą y = x/2 (jest to tzw. "asymptota ukośna")
  
  Druga część zadania ("coraz wolniej / szybciej") jest trochę "niematematyczna"
  Wobec tego też niematematycznie opiszę zachowanie f(x).
  Dla bardzo ujemnych x funkcja f(x) zachowuje się jak prosta x/2, czyli f(x) < 0
  Gdy x --> 0 (z lewej strony) to składnik 2/x we wzorze f(x) jest coraz większy.
  Ponieważ we wzorze na f(x) jest MINUS 2/x to dla x < 0 daje to dodatni wkład.
  Całość f(x) zaczyna być dodatnia i --> +oo gdy x --> 0 z lewej strony.
  
  Gdy x startuje od 0 z prawej strony to składnik MINUS 2/x na początku jest nieskończony, ujemnie nieskończony. Potem przestaje on grać rolę i f(x) znów zachowuje się jak x / 2, czyli x/2 > 0 dla x > 0.
  
  Dlatego na drugą część zadania odpowiedziałbym:
  "funkcja cały czas rośnie, najszybciej w okolicy x = 0".
  ==========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv, wątpię, abym się pomylił, chyba, że źle odczytałem treść zadania.

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie