Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.5.2020 (16:47)

  [ Rysunki były wykonane przy pomocy programu "GeoGebra". Polecam ! ]
  [ Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu" jak się pojawi. ]
  
  Zadanie 1.
  Zobacz proszę załącznik "Rysunek1.png". Odcinek a = AB ma długość 30 cm, drugi bok równoległoboku b = BC ma długość 18 cm. Wysokość h1 = BE = 20 cm. Ta wysokość jest poprowadzona do przedłużenia boku AD i przecina kreskowaną prostą w punkcie E.
  Drugą wysokość h2 (zieloną) prowadzimy z wierzchołka D do boku AB. Przecina ona ten bok w punkcie F.
  To jej długość mamy obliczyć.
  
  Zauważ, że trójkąty ADF i AEB są podobne, ponieważ kąty AEB i DFA są proste i kąt DAB jest wspólny dla
  obu trójkątów. Wobec tego stosunki odpowiednich boków tych trójkątów są równe. W szczególności zachodzi taka równość:
  
  |DF| / |AD| = |EB| / |AB| ; czyli inaczej: h2 / b = h1 / a ; stąd liczymy h2
  h2 = h1 * (a / b) ; wstawiamy dane:
  h2 = 20 * (18 / 30) = 12 cm
  
  NIE MA drugiej możliwości gdyż wysokość h1 jest większa niż bok b, więc nie jest możliwe poprowadzenie jej z punktu D.
  =============================================
  
  Zadanie 2.
  Zobacz proszę załącznik "Rysunek2.png". Przekątne (dłuższa d2 = AC = 40 cm, krótsza d1 - BD = 20 cm) przecinają się w punkcie O. Wysokość (czerwony odcinek DE) jest do policzenia.
  a)
  Pole P = d1 * d2 / 2 = 30 * 40 / = 600 cm^2
  b)
  Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym więc trójkąt ABO jest prostokątny. Przyprostokątne AO i BO są połówkami przekątnych rombu czyli mają długości 20 cm i 15 cm. Z tw. Pitagorasa:
  |AB| = pierwiastek( |AO|^2 + |BO|^2) = pierwiastek(20^2 + 15^2)
  |AB| = pierwiastek(625) = 25 cm
  c)
  Pole rombu można też zapisać jako "podstawa razy wysokość", czyli
  P = |AB| * |DE| ; wstawiamy pole obliczone poprzednio i znajdujemy wysokość DE
  |DE| = P / |AB| = 600 / 25 = 24 cm
  =============================================
  
  Zadanie 3.
  Zobacz proszę załącznik "Rysunek3.png". Przekątna d = AC = 30 cm. Wysokość h = CE (zielona) = 7 cm. Prowadzimy też drugą przekątną BD. Przekątne przecinają się w punkcie G. Z tego punktu prowadzimy odcinek GH prostopadły do AB. Ponieważ trapez jest równoramienny to punkt H dzieli podstawę AB na połowy. Podobnie prowadzimy odcinek GF prostopadły do CD. Punkt F dzieli odcinek CD na połowy.
  
  Zauważ, że trójkąty: AEC, AHG jako prostokątne i mające wspólny kąt HAG są podobne. Podobny do nich jest też trójkąt GFC, bo także jest prostokątny i kąty HAG i FCG są równe (bo prosta AC przecina równoległe podstawy trapezu. Skorzystamy z tego podobieństwa.
  
  Do obliczenia pola trapezu P = (1/2) (a + b) h potrzebna jest suma długości a = |AB| i b = |CD|.
  Z podobieństwa trójkątów opisanego wyżej wynika, że:
  |GH| / ( a/ 2) = |CE| / |AE| , a także
  |GF| / ( b / 2) = |CE| / |AE|
  Długość CE znamy, jest to h = 7 cm.
  Długość AE wyliczamy z tw. Pitagorasa (kąt AEC jest prosty)
  |AE| = pierwiastek (25^2 - 7^2) = pierwiastek(576) = 24 cm.
  Zastępujemy CG i AE liczbami i mnożymy "na krzyż proporcje podane wyżej:
  24 * |GH| = 7 * ( a / 2)
  24 * |GF| = 7 * (b / 2) ; dodajemy równania stronami
  24 * (|GH| + |GF|) = 7 * (a + b) / 2 ; ale |GH| + |GF| to wysokość trapezu = 7, czyli
  24 * 7 = 7 * (a + b) / 2 ; skracamy 7 i mamy szukaną wielkość
  (a + b) / 2 = 24
  
  Podstawiamy to do wzoru na pole trapezu: P = 24 * 7 = 168 cm^2
  =============================================
  
  Zadanie 4.
  Jeśli figury są podobne w skali k, to ich pola mają się do siebie jak k^2.
  Oznaczmy P1 i P2 pola obu figur. Wiemy że:
  P1 + P2 = 145 (z zadania)
  P1 / P2 = k^2 = 0.16 (z zadania znamy k)
  Pozbywamy się P2. Z drugiego równania P2 = P1 / 0,16, wstawiamy do pierwszego równania:
  P1 + P1 / 0,16 = 145
  P1 * (1 + 1/0.16) = 145 ; wyliczamy z kalkulatorem
  P1 = 145 / ( 1 + 1/0,16) = 20 cm^2
  
  Sprawdzamy: większe pole wynosi 20 / 0.16 = 125 cm^2, razem P1 + P2 = 145 cm^2.
  Zgadza się.
  =============================================
  
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • rysunek1.png (600 KB)

  • rysunek2.png (540 KB)

  • rysunek3.png (593 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie