Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 28.3.2020 (02:48)

  W każdym z podpunktów rysujemy 4 proste, będą one tworzyć romb lub kwadrat.
  Za każdym razem rozpatrujemy 4 przypadki gdy wyrażenia wewnątrz |..|
  są nieujemne ( >= 0) lub ujemne ( < 0 )
  
  d) Rysunek w załączniku plikD.png
  
  Gdy x >= 0 oraz y >= 0 to |x| = x oraz |y| = y.
  Mamy nierówność: 2x - y <= 6
  Rysujemy prostą 2x - y = 6 [ to ta prosta przez (0; -6) i (3; 0) ]
  Aby ustalić, która część płaszczyzny spełnia nierówność patrzymy
  czy punkt (0; 0) ją spełnia. Tak, bo 0 < 6.
  Zaznaczamy tą półpłaszczyznę na której jest (0; 0) Z BRZEGIEM
  gdyż nierówność jest nieostra.
  Pamiętaj też o warunku x >= 0 oraz y >= 0 czyli
  trzeba zakreskować tylko obszar w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych !
  
  Gdy x < 0 oraz y >= 0 (druga ćwiartka układu współrzędnych)
  dostajemy nierówność: -2x - y <= 6 czyli
  2x + y >= -6
  Prosta 2x + y = -6 przechodzi przez (0; -6) i (-3; 0)
  Punkt (0; 0) spełnia nierówność; kreskujemy odpowiedni obszar w II ćwiartce.
  
  Gdy x < 0 oraz y < 0 (trzecia ćwiartka układu) mamy nierówność:
  -2x + y <= 6
  Prosta -2x + y = 6 przechodzi przez (0; 6) i (-3; 0).
  Punkt (0; 0) spełnia nierówność, kreskujemy odpowiedni obszar III ćwiartki.
  
  Gdy x >= 0 oraz y < 0 (czwarta ćwiartka układu) mamy nierówność:
  2x + y <= 6
  Prosta 2x + y = 6 przechodzi przez (0; 6) i (3; 0).
  Punkt (0; 0) spełnia nierówność, kreskujemy odpowiedni obszar IV ćwiartki.
  
  Sumujemy rozwiązania. Patrz niebieski obszar w załączniku
  RAZEM z BRZEGAMI !
  ========================================
  
  e) Rysunek w załączniku zbiorE.png
  Tu będzie prościej :))
  Będziemy sprawdzać znaki wyrażeń x + y oraz x - y.
  Na początku rysujemy dwie proste: y = x oraz y = -x.
  Tworzą one kształt X dzielący płaszczyznę na 4 części.
  Zaraz zobaczysz, jak się wybiera odpowiednią część.
  
  Gdy x + y >= 0 oraz x - y >= 0 dostajemy nierówność:
  (x + y) + (x - y) <= 2 ; czyli
  2x <= 2 ; czyli
  x <= 1
  Jest to półpłaszczyzna na lewo od pionowej linii x = 1
  ale NIE cała, bo trzeba się ograniczyć do tej ćwiartki tworzonej przez X która odpowiada warunkom x + y >= 0 i x - y >= 0.
  Aby to ustalić patrzymy na 4 punkty: (1; 0), (-1; 0), (0; 1) i (0; -1).
  Widać, że punkt (1; 0) spełnia założenia czyli rozwiązaniem tego przypadku jest
  przecięcie półpłaszczyzny na lewo o linii x = 1 i "prawa" ćwiartka litery X
  Dostajemy trójkąt o wierzchołkach w (0; 0), (1; 1) i (1; -1)
  
  Gdy x + y >= 0 oraz x - y < 0 dostajemy nierówność:
  (x + y) - (x - y) <= 2 ; czyli
  2y <= 2 ; czyli
  y <= 1
  Jest to obszar pod poziomą prostą y = 1, ale trzeba wybrać ćwiartkę z X.
  Punkt (0; 1)) spełnia założenia, więc jest to "górna" ćwiartka X.
  
  Gdy x + y >= 0 oraz x - y < 0 dostajemy nierówność:
  (x + y) - (x - y) <= 2 ; czyli
  2y <= 2 ; czyli
  y <= 1
  Jest to obszar pod poziomą prostą y = 1, ale trzeba wybrać ćwiartkę z X.
  Punkt (0; 1) spełnia założenia, więc jest to "prawa" ćwiartka X.
  Na przecięciu dostajemy trójkąt (0; 0), (1; 1), (-1; 1)
  
  Gdy x + y < 0 oraz x - y < 0 dostajemy nierówność:
  -(x + y) - (x - y) <= 2 ; czyli
  -2x <= 2 ; czyli
  x >= -1
  Jest to obszar na prawo od pionowej prostej x = -1, ale trzeba wybrać ćwiartkę z X.
  Punkt (-1; 0) spełnia założenia, więc jest to "lewa" ćwiartka X.
  Na przecięciu dostajemy trójkąt (0; 0), (-1; 1), (-1; -1)
  
  Gdy x + y < 0 oraz x - y >= 0 dostajemy nierówność:
  -(x + y) + (x - y) <= 2 ; czyli
  -2y <= 2 ; czyli
  y >= -1
  Jest to obszar powyżej poziomej prostej y = -1, ale trzeba wybrać ćwiartkę z X.
  Punkt (0; -1) spełnia założenia, więc jest to "dolna" ćwiartka X.
  Na przecięciu dostajemy trójkąt (0; 0), (-1; 1), (-1; -1)
  
  Sumujemy rozwiązania i dostajemy kwadrat (1;1), (-1, 1), (-1; -1), (1; -1)
  Z BRZEGIEM bo nierówność jest nieostra.
  ========================================
  
  f) Rysunek w załączniku zbiorF.png
  
  Wykorzystamy podział płaszczyzny przez "X" z poprzedniego zadania
  ale ten minus w nierówności ciekawie zmienia rozwiązanie.
  
  "Prawa" ćwiartka X czyli x + y >= 0 oraz x - y >= 0
  Nierówność: +(x - y) - (x + y) > 2 ; czyli
  -2y > 2 ; czyli
  y < -1
  Jest to obszar poniżej poziomej linii y = -1.
  Przecięcie - zobacz niebieski obszar na rysunku
  
  
  "Górna" ćwiartka X czyli x + y >= 0 oraz x - y < 0
  Nierówność: +(x - y) + (x + y) > 2 ; czyli
  2x > 2 ; czyli
  x > 1
  Jest to obszar na prawo od pionowej linii x = 1.
  Przecięcie - różowy obszar na rysunku.
  
  "Lewa" ćwiartka X czyli x + y < 0 oraz x - y < 0
  Nierówność: -(x - y) + (x + y) > 2 ; czyli
  2y > 2 ; czyli
  y > 1
  Jest to obszar powyżej poziomej linii y = 1.
  Przecięcie - zielony obszar na rysunku.
  
  "Dolna" ćwiartka X czyli x + y < 0 oraz x - y >= 0
  Nierówność: -(x - y) - (x + y) > 2 ; czyli
  -2x > 2 ; czyli
  x < -1
  Jest to obszar na lewo od pionowej linii x = -1
  Przecięcie - fioletowy obszar na rysunku.
  
  W sumie dostajemy coś jak wiatrak, BEZ brzegów, bo nierówność jest ostra.
  ========================================
  
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.
  Rysunki robiłem programem "geogebra" - polecam !

  Załączniki

  • zbiore.png (601 KB)
  • zbiorf.png (567 KB)
  • zbiord.png (920 KB)

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj