Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 26.3.2020 (10:46)

  [ Czytaj proszę ^ jako znak potęgowanie, np: 2^3 = 8 ]
  
  Zadanie 1.
  (a) Pochodna funkcji potęgowej, ze wzoru: (x^n) ' = n x^(n-1)
  f ' (x) = x^2 - 6x^3 + 13x^4 -12x^5
  
  (g) Podstawiamy y = 1/4 + 4 jako funkcję wewnętrzną i mamy: f(y) = y^4. Wtedy:
  f ' (x) = (y^4) ' * y ' * = 4y^3 * (-1/x^2) = - 4 (1/x + 4)^3 / x^2
  
  (k) Funkcją wewnętrzną jest y = 10x. Ze wzoru jak wyżej dostajemy:
  f ' (x) = sin(y) ' * (10x) ' = cos(y) * 10 = 10 cos(10x)
  
  (i) Funkcja wewnętrzna to y = x^2 + 1 ; czyli y ' = 2x
  Pierwiastek (y) traktujemy jako y^(1/2) czyli
  [ y^(1/2) ] ' = (1/2) y^(-1/2) = 1 / (2 * pierwiastek(y). Całość:
  f ' (x) = 2x / [ 2 * pierwiastek(y) ] = x / [ pierwiastek(x^2 + 4) ]
  ========================
  
  Zadanie 2.
  We wszystkich przykładach z tego zadania robimy takiego typu podstawienie:
  x = e^(ln x)
  Wtedy mamy "e" jako podstawę funkcji potęgowej, a z tego się łatwo liczy pochodną.
  
  (a) Podstawiamy jak wyżej. Teraz f(x) = e^ [ x ln(x) ].
  Funkcją wewnętrzną jest y = x ln(x) ; czyli
  f ' (x) = (e^y) ' * [ x ln(x) ] ' ; pochodna iloczynu, to znasz, prawda ?
  = e^y * [ ln(x) + x * (1/x) ] = x^x [ ln(x) + 1 ]
  
  (b) Podstawienie jak wyżej, f(x) = e^ [ ln(x) sin (x) ] ; y = ln(x) x sin(x)
  f ' (x) = (e^y) ' * [ ln(x) sin (x) ] ' = e^y * [ sin(x) / x + ln(x) cos(x) ] =
  = x^[ sin(x) ] * [ sin(x) / x + ln(x) cos(x) ]
  
  (c) sin(x) = e^[ ln (sin x ) ] ; y = ln (sin x).* cos(x) ; czyli
  f(x) = e^ [ ln(sin x) * cos(x) ]
  f '(x) = (e^y) ' * [ ln(sin x) * cos(x) ] ' =
  = e^y * [ cos(x) / sin(x) - ln(sin x) sin(x) ] =
  = sin(x)^[ cos(x) ] * [ ctg(x) - ln(sin x) sin(x) ]
  
  (e) Zamieniamy pierwiastek_stopnia_x (x) na x^(1/x) i podstawiamy x = e^(ln x)
  f(x) ' = (e^ y) ' * [ ln(x) / x ] ' ; pochodna iloczynu ln(x) i 1/x, to umiesz
  = e^y * [ 1/x^2 - ln(x) / x^2 ] =
  pierwiastek_stopnia_x (x) * [ 1 - ln(x) ] / x^2
  
  ===========================================
  
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie