Treść zadania

RozwiÄ…zania

• 

  1 0

  antekL1 18.11.2018 (20:28)

  Początek zadnia: " W jakich odległościach od środka mas Ziemi pomiędzy Ziemią a Księżycem...." rozumiem, że chodzi o odległość od środka masy Ziemi Księżyca? Jeśli nie, to obliczymy też odległość od środka Ziemi.
  
  Zadanie ma dwa podejścia - Prosto, ale niedokładnie, można obliczyć odległość "x" (od środka Ziemi) gdzie przyciąganie grawitacyjne Ziemi i Księżyca równoważy się. Oznaczmy
  
  d - odległość środków Ziemi i Księżyca
  Mk, Mz - masy jak w tekście zadania
  G - jak w tekście zadania
  
  Ma zachodzić równość: G Mz / x^2 = G Mk / (d - x)^2
  Mnożymy przez mianowniki i skracamy G
  Mz (d - x)^2 = Mk x^2 ; wymnażamy kwadrat, przenosimy
  
  (Mz -Mk) x^2 - 2d Mz x + d^2 Mz = 0 ; rozwiązujemy to równanie
  
  x1 = d * pierwiastek(Mz) / [ pierwiastek(Mz) - pierwiastek(Mk) ]
  x2 = d * pierwiastek(Mz) / [ pierwiastek(Mz) + pierwiastek(Mk) ]
  
  Pierwsze z rozwiązań daje x1 > d/ Jest to punkt leżący dalej od Ziemi niż Księżyc i oznacza punkt gdzie wektory pola grawitacyjnego są wprawdzie równe, ale skierowane ZGODNIE. To nie ten punkt.
  Drugie rozwiÄ…zanie daje:
  
  x2 = d * pierwiastek(5,9736×10^24) / [ pierwiastek(5,9736×10^24) + pierwiastek(7,347 673×10^22) ]
  x2 = 0,9 d
  
  Podstawiamy za "d" odległości w apo- i perygeum
  
  Apogeum: x2 = 0,9 * 405696 = 365126 km = około 365000 km
  Perygeum: x2 = 0,9 * 365126 = 328613 km = około 329000 km
  =====================================================
  
  
  To rozwiązanie NIE jest jednak dokładne (a dane są) gdyż nie uwzględnia faktu, że Ziemia i Księżyc obracają się dookoła wspólnego środka masy. Ten środek leży w odległości"s" od środka Ziemi>Obliczymy "s" ze wzoru na środek masy:
  
  (Mz + Mk) s = 0 + Mk d ; stÄ…d:
  s = d Mk / ( Mz + Mk )
  s = d * 7,347 673×10^22 / (5,9736×10^24 + 7,347 673×10^22) = 0,0121508 d
  s = około 0,0121508 * (405696 + 363104) / 2 = około 4671 km ; czyli wewnątrz Ziemi.
  
  Niech szukany punkt leży w odległości y od środka Ziemi (w stronę Księżyca).
  W układzie odniesienia obracającym się wraz z Księżycem dookoła Ziemi na masę umieszczoną w tym punkcie działa dodatkowo siła odśrodkowa bezwładności, skierowana w stronę Księżyca.
  Odległość szukanego punktu od środka Ziemi to " y", od Księżyca to "d - y",
  natomiast od środka masy to " y - s"
  Równanie na równowagą przyspieszeń ma teraz postać:
  
  G Mz / y^2 = G Mk / (d - y)^2 + w^2 (y - s)
  gdzie "w" to prędkość kątowa obrotu Księżyca dookoła Ziemi. Okres T tego obrotu to około 28 dni więc :
  
  w = 2 pi / T = 2 pi / (28 * 24 * 3600) = około 2,6 * 10^(-6) rad/s
  
  Dokładne równanie NIE ma algebraicznego rozwiązania.
  Można je rozwiązać numerycznie, ale zobaczmy tylko, jaka jest poprawka na czynnik
  w^2 ( y - s) zakładając, że y ma taką samą wartość, jak poprzednio obliczone x.
  
  G Mz / y^2 = 6.67259x10 ^(-11) * 5,9736×10^24 / 329000^2 = około 3682
  G Mk (d - y)^2 = 6.67259x10 ^(-11) * 7,347 673×10^22 / (363104 - 329000)^2 = około 4215
  poprawka: w^2 (y - s) = [ 2,6 * 10^(-6) ] ^2 * ( 329000 - 4671) = około 2.2 * 10^(-6)
  
  Poprawka jest więc niezwykle mała i można ją zaniedbać,
  w mocy pozostaje więc poprzednie rozwiązanie.
  ==============================================
  
  Punkt obliczany w drugiej części zadania nazywa się "punkt libracyjny" (patrz Wikipedia).
  Jak się pomyliłem lub w razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj