Treść zadania

Rozwiązania

• 

  3 0

  antekL1 14.11.2018 (09:14)

  1) |tgx| >tgx +2/cosx
  
  Rozwiązujemy to w przedziale <0; 2pi),
  nie zapomnij proszę potem dopisać " + 2 k pi "
  do rozwiązania (bo taki jest okres funkcji kosinus)
  Wykluczamy punkty x = pi/2 oraz x = 3pi/2 gdzie kosinus = 0 i tangens jest nieokreślony.
  
  Zbadajmy punkty gdzie tangens = 0
  Dla x = 0 mamy |0| > 0 + 2 / cos 0 = 2. Sprzeczność.
  Dla x = pi mamy |0| > 0 + 2 / cos pi = -2. Zgadza się
  
  Mamy teraz kilka sytuacji (plik "wykres1.pdf" w załączniku pomoże Ci, są tam wykresy tangensa i kosinusa w przedziale od 0 do 2pi)
  
  (a)
  Dla " x należy do (0; pi/2) " obie funkcje są dodatnie.
  Zastępujemy |tg(x)| przez tg(x) i skracamy tangens
  tg(x) > tg(x) + 2 / cos(x) ; stąd:
  0 > 2 / cos(x) ; Sprzeczność bo kosinus miał być dodatni.
  Odrzucamy ten przedział.
  
  (b)
  Dla " x należy do (pi/2; pi) " obie funkcje są ujemne
  Zastępujemy |tg(x)| przez MINUS tg(x) i tg(x) piszemy jako sin(x) / cos(x)
  0 > 2 sin(x) / cos(x) + 2 / cos(x)
  Skracamy cos(x) ZE ZMIANĄ ZNAKU nierówności, bo cos(x) < 0
  0 < sin(x) + 2 ;zawsze prawda, więc przedział (pi/2 ; pi) należy do rozwiązania
  
  (c)
  Dla " x należy do (pi; 3pi/2) " tg > 0; cos < 0. Skracamy tg jak w przypadku (a)
  0 > 2 / cos(x) ; Zgadza się, bo kosinus jest < 0. Mamy kolejny przedział rozwiązania.
  
  (d)
  Dla " x należy do (3pi/2; 2pi) " tg < 0; cos > 0. Postępujemy jak w (b)
  0 > 2 sin(x) / cos(x) + 2 / cos(x) ; stąd (NIE zmieniamy znaku bo cos > 0)
  0 > 2 sin(x) + 2. Sprzeczność.
  
  Sumujemy wszystkie przypadki i mamy : x należy do (pi / 2; 3pi / 2)
  "Wykres1a.pdf" pokazuje funkcję: - | tg(x) | + tg(x) + 2 / cos(x)
  Ten kawałek pod osią OX to rozwiązanie.
  ==================================================================
  
  2)(x)do potęgi log1/2 z(x)=1/16
  
  Pozwól proszę, że użyję swojego zapisu: x ^ [ log_(1/2) (x) ] = 1/16 ; gdzie:
  ^ oznacza "do potęgi"
  log_a (b) oznacza "logarytm o podstawie 'a' z 'b' "
  
  Dziedzina: x > 0 dlatego, że "x" jest argumentem logarytmu.
  Bierzemy logarytm o podstawie 1/2 z obu stron równania.
  Z praw logarytmowania wynika, że:
  
  log_(1/2) (x) * log_(1/2) (x) = log_(1/2) (1 / 16) ; więc:
  [ log_(1/2) (x) ]^2 = 4 ; stąd:
  
  log_(1/2) (x) = 2 lub log_(1/2) (x) = -2 ; stąd rozwiązania:
  
  x1 = 1 / 4 ; x2 = 4
  =================================================================
  
  Może ja za brutalnie podałem ostatnie rozwiązania? To zobacz:
  Jeśli log_(1/2) (x) = 2 oznacza to, że x = (1/2) ^ 2 ; to wynika z definicji logarytmu.
  Podobnie jeśli log_(1/2) (x) = -2 oznacza to, że x = (1/2) ^ (-2) = 1/4
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Pozdro - Antek

  Załączniki

  • wykres1.pdf (7 KB)
  • wykres1a.pdf (7 KB)

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj