Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.11.2018 (19:36)

  [ Poniżej zapis: log_a (b) oznacza: "logarytm o podstawie "a" z wielkości "b" ]
  
  Proponuję tak:
  Sprowadzimy wszystkie logarytmy do jednakowej podstawy, czyli do log_x (2).
  Potem podstawimy: y = log_x (2) i zobaczymy, co wychodzi.
  
  Przypominam wzór na zamianę podstawy logarytmu:
  "Log w nowej podstawie z liczby =
  = log w starej podstawie z tej liczby dzielony przez log w starej podstawie z nowej podstawy"
  Przykład: log_2 (10) = ln 10 / ln 2
  ================================
  
  Zamieniamy:
  log_(2x) (2) = log_x (2) / log_x (2x)
  Wyrażenie log_x (2x) = log_x (2) + log_x (x) = log_x (2) + 1
  
  Analogicznie:
  log_(4x) (2) = log_x (2) / log_x (4x)
  Wyrażenie log_x (4x) = log_x (4) + log_x (x) = 2* log_x (2) + 1
  
  Zastępujemy: y = log_x (2) . Nierówność ma teraz postać:
  
  y * [ y / ( y + 1) ] > [ y / ( 2y + 1) ] ^2
  
  Przenosimy wszystko na lewo, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  [ Użyłem darmowego "Wolfram alfa" aby się nie pomylić, pomijam algebrę ]
  Dostajemy:
  
  [ y^3 ( 4y + 3) ] / [ (2y + 1)^2 * (y + 1) ] > 0
  
  W mianowniku jest kwadrat, zawsze dodatni ( wykluczamy 1 + 2y == 0)
  Wykluczamy też y + 1 == 0.
  Pozostałe wyrażenia generują szereg warunków na y. Patrz proszę załącznik "wykres.pdf"
  Wynika z niego, że nierówność jest spełniona w przedziałach:
  
  ( - 1; -3/4 ) U (0; +oo)
  
  Zauważ proszę, że ten przedział ZAPEWNIA spełnienie warunków y <> - 1/2 oraz y <> -1.
  --------------------------
  
  Wracamy do zmiennej x. Mamy: y = log_x (2)
  Wykluczamy x <= 0 jako podstawę logarytmu.
  Zobaczmy, jakie wartości "x" odpowiadają podanym wyżej przedziałom "y".
  
  -1 = log_x (2) ; więc x^(-1) = 2 ; czyli x = 1 / 2
  - 3/4) = log_x (2) ; więc x^(-3/4) = 2 ; czyli x = 2^(-4/3) ; stąd x = pierw_st_3 (1/16)
  
  Druga część: Patrz wykres: ""log-x(2).pdf"", bo ten tekst staje się za długi.
  Wynika z wykresu, że x należy do (1; - coś w okolicy pierw(2) ).
  ================================
  
  W razie pytań lub jak sie pomyliłem pisz proszę na priv.
  Chyba się pomyliłem - patrz załącznik "funkcja.pdf" , to jest wykres funkcji z zadania, trzeba zobaczyć, kiedy jest dodatnia, pierwsza część się zgadza, druga - tak trochę. Ale metoda jest poprawna.
  
  Zadanie nie jest bardzo trudne, ale "upierdliwe" :))
  Pozdro - Antek

  Załączniki

  • wykres.pdf (7 KB)

  • logx2.pdf (7 KB)

  • funkcja.pdf (7 KB)

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie