Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 22.1.2018 (16:54)

  Oblicz CAŁKI:
  a) x/√(x^2+1)
  b) e^x*x^2*dx
  
  a)
  Zauważ, że mianownik ma trochę wspólnego z licznikiem. Podstawmy:
  
  t = x^2 + 1 ; wtedy dt = 2x dx ; czyli x dx = (1/2) dt ; nasza całka przechodzi na:
  
  calka [ x/√(x^2+1) ] dx = (1/2) * całka [ 1 / √t ] dt
  
  no i ze wzoru na całkowanie x^n mamy :
  
  całka [ 1 / √t ] dt = całka [ t^(-1/2) ] dt = 2 t^(1/2) = 2 √(x^2 + 1)
  
  Podstawiamy. Wynik: √(x^2 + 1) + C
  ==========================================
  
  b)
  To jest całka typu: x^n * e^n
  Stosujemy całkowanie przez CZĘŚCI (do skutku). Przypominam wzór:
  
  całka (f ' g) = f g - całka (f g ') ; gdzie znak prim oznacza różniczkowanie.
  
  Jak ustawimy funkcję g(x) = x^2 oraz f(x) = e^x
  to zauważ, że pochodna f ' = [ e^x ] ' = e^x ; [ czyli nic nie zmienia ]
  natomiast różniczkowanie x^2 daje 2x, więc OBNIŻA potęgę x^n.
  Dlatego tak właśnie wybieramy f, g.
  
  Całka [ e^x * x^2 ] dx = e^x * x^2 - całka [ e^2 * 2x ] dx
  
  Do tej drugiej całki po prawej stronie znów ta sama sztuczka.
  Sorry, te wzory są długie, a metoda prosta ;). Wynik:
  
  Twoja całka = (x^2 - 2x + 2) * e^x + C
  
  Przeeeepraszam, że nie piszę wszystkich obliczeń, użyłem programu do symbolicznego liczenia, aby nie pomylić się w znakach plus/minus, bo "na kartce" to od razu się myliłem.
  ==========================================
  
  Pisz proszę na priv w razie pytań

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj