Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.12.2017 (15:01)

  Rozwiąż równanie : lnx=2x
  
  NIE MA rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
  
  Spróbujmy to pokazać.
  Dziedziną równania są liczby dodatnie ; x > 0 ; [ powód - logarytm ]
  
  Dla liczb z przedziału (0; 1) logarytm jest ujemny, wyrażenie 2x dodatnie
  więc równość nie może zajść.
  
  Dla x = 1 mamy sprzeczność; 0 = 2
  
  Dla x > 1 Możemy obie strony równania umieścić w wykładniku funkcji e^y, [ gdzie e - podstawa logarytmów naturalnych ]. Ta funkcja jest monotoniczne rosnąca, więc z równości:
  
  ln x = 2x ; wynika, że
  
  e^(ln x) = e^(2x) ; lewa strona daje po prostu "x", więc:
  
  x = e^(2x) ; badamy to w przedziale liczb rzeczywistych gdy x > 1
  
  Można to teraz różnie traktować, na przykład tak, rozwijając e^(2x) w szereg:
  
  e^(2x) = 1 + 2x + (1/2)(2x)^2 + ....
  
  Dla x > 1 to rozwinięcie jest zawsze większe od "x", więc nie może być rozwiązań. Dla mniejszych "x" też da się pokazać nierówność, ale to niepotrzebna zabawa, dlatego tak podzieliłem dziedzinę równania na 3 części, jak wyżej.
  =================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  A tak "dla ciekawości" - równanie: lnx = a x ma rozwiązania dla a < = 1/e
  czyli dla a < od około 0,368
  
  Dla a = 1/e prosta y(x) = x / e jest styczna do wykresu ln x, (w punkcie x = e)
  a dla większych "a" już się nie mają szansy przeciąć. Takie śmieszne funkcje :)
  Antek

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj