Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.11.2017 (12:36)

  Wprowadźmy takie zmienne:
  V1, V2 - "prędkość" każdej z pomp, wyrażana np w litrach / godzinę, czyli l/h
  Z - pojemność zbiornika
  
  Wtedy szukane czasy to: t1 = Z / V1 oraz t2 = Z / V2
  
  Wykorzystajmy informację z zadania:
  
  "gdyby jedna z pomp wykonała połowę pracy" - czas jej pracy to:
  t_pierwsza = (Z/2) / V1
  (bo Z/2 to połowa pojemności zbiornika, V1 - "prędkość" pompy)
  
  "a druga pompa samodzielnie dokończyła" - czas:
  t_druga = (Z/2) / V2
  
  Razem ma to dawać 16 godzin, mamy więc równanie:
  16 = t_pierwsza + t_druga ; czyli
  
  (Z/2) / V1 + (Z/2) / V2 = 16 ; mnożymy przez 2
  Z / V1 + Z / V2 = 32 <------------------------------ pierwsze równanie
  
  Kolejna informacja:
  "Dwie pompy, pracując jednocześnie, mogłyby opróżnić zbiornik w ciągu 6 godzin."
  Czyli
  
  Z / (V1 + V2) = 6 <----------------- drugie równanie
  
  Od tego momentu zaczyna się tylko algebra. Mamy wprawdzie 3 niewiadome i 2 równania, ale pamiętaj, że potrzebne są nam jedynie stosunki Z / V, a NIE wartości wszystkich trzech zmiennych. Jest wiele sposobów na rozwiązanie tych równań, ale proponuję taką "sztuczkę":
  
  Wyraźmy pojemność zbiornika w takich jednostkach, aby Z stało się równe 1.
  WOLNO nam, bo można w końcu wymiar prędkości V opisać jako "zbiornik/h"
  TRACIMY wymiary, ale i tak je straciliśmy pisząc czas jako "6", a nie "6 godzin".
  Trzeba "na intuicję"
  Wtedy do obliczenia są czasy:
  t1 = 1 / V1 ; oraz t2 = 1 / V2 ; [ wymiarem wyniku będą godziny ]
  
  i poprzednie równania dają taki układ:
  1 / V1 + 1 / V2 = 32 <------------ równanie #3
  1 / (V1 + V2) = 6 <----------------- równanie #4
  
  Równanie #3 mnożymy przez iloczyn V1 * V2.
  Równanie #4 mnożymy przez mianownik
  V2 + V1 = 32 * V1 * V2 <----------- równanie #5
  1 = 6 * (V1 + V2) <-------------------- równanie #6
  
  Z równania #6 mamy sumę V1 + V2 = 1/6. Wstawiamy to do równania #5
  V1 * V2 = 1 / 192 <------------- równanie #7
  V1 + V2 = 1 / 6 <----------------- równanie #8
  
  Ten układ równań ma rozwiązania: V1 = 1/24; V2 = 1/8 [ lub odwrotnie ]
  Jeśli sposobu na ten układ równań nie miałaś/miałeś (?) na matmie, to proszę czytaj na dole pod kreską ========== . Dokończmy teraz zadanie "fizyczne". Pisałem, że
  t1 = 1 / V1 ; więc t1 = 1 / (1/24) = 24 h <------- czas pracy pierwszej pompy
  t2 = 1 / V2 ; więc t2 = 1 / (1/8) = 8 h <---------- czas pracy drugiej pompy
  ------------------------------------------------------------
  Sprawdźmy jeszcze, czy to się zgadza.
  Dwie pompy pracując razem mają wydajność 1/24 + 1/8 = 1/6
  więc opróżnią zbiornik w czasie:
  t = 1 / (V1 + V2) = 1 / (1/6) = 6 godzin. Zgadza się.
  
  Pierwsza pompa opróżniła 1/2 zbiornika w czasie t1 = (1/2)/(1/24) = 12 godzin
  Druga pompa opróżniła 1/2 zbiornika w czasie t2 = (1/2)/(1/8) = 4 godziny
  Razem: t1 + t2 = 12 + 4 = 16 godzin. Zgadza się.
  
  Pisz proszę na priv, jeśli to rozwiązanie jest niezrozumiałe, albo jeśli masz prostszy pomysł - na pewno taki jest
  ===========================================
  
  Jeśli nie było tego na lekcji matematyki, to układ równań #7,#8 rozwiązuje się zmieniając je w równanie kwadratowe. Najpierw proszę zobacz załącznik *.pdf. Czerwone krzywe to wykres równania #7. Są to dwie gałęzie hiperboli, opisanej przez V1 * V2 = 1/192. [ Skale na osiach V1,V2 są RÓŻNE ].
  Zielona prosta to wykres zależności V1 + V2 = 1/6.
  Jak widać zielone i czerwone linie przecinaną się w 2 punktach i to są nasze rozwiązania.
  Wystarczy z równania #8 podstawić:
  
  V2 = 1/6 - V1 ; do równania #7 ; aby dostać równanie kwadratowe:
  
  V1 * ( 1/6 - V1) = 1 / 192 ; i po niezbędnej "kosmetyce" daje to:
  32 V1 - 192 V1^2 = 1 ; stąd [ znaczek ^2 to "do kwadratu" ]
  192 V1^2 - 32 V1 + 1 = 0 <--------------- nasze równanie kwadratowe na V1
  
  Jego rozwiązania to właśnie 1/24 i 1/8. Po odjęciu tego od 1/6 mamy 1/8 i 1/24.
  Stąd są liczby, które podałem w rozwiązaniu.
  =========================================
  
  Pieseczku, pisz na priv, jeśli to niejasne, starałem się objaśnić :)

  Załączniki

  • wykres.pdf (5 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie