Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.9.2017 (10:36)

  Gdy znamy sinus danego kąta możemy jego kosinus policzyć z "jedynki trygonometrycznej"
  czyli ze wzoru sin^2 + cos^2 = 1
  a tangens jako stosunek sinus / kosinus.
  Należy tylko uważać na ZNAKI plus/minus, zależne od ćwiartki układu współrzędnych.
  Pomóc może taki wierszyk:
  
  W pierwszej wszystkie są dodatnie
  W drugiej tylko sinus
  W trzeciej tangens i kotangens
  A w czwartej kosinus
  
  Uzbrojeni w te narzędzia zaczynamy liczenie.
  ======================================================
  
  Zadanie 7a)
  Popatrzmy najpierw na zakres wartości x, od pi do 3pi.
  Różnica 3pi - pi = 2pi, czyli kąty "x" mogą leżeć w każdej ćwiartce układu.
  ALE kąt x/2 już nie, bo musi być on zawarty w przedziale (pi/2; 3pi/2)
  czyli w ćwiartce II lub III.
  Wiemy z zadania, że sin(x/2) = 4/5 czyli jest DODATNI,
  więc kąt x/2 należy do DRUGIEJ ćwiartki [ patrz wierszyk ]
  i jego kosinus będzie UJEMNY.
  
  Liczymy go z "jedynki trygonometrycznej"
  cos(x/2) = minus pierwiastek [ 1 - sin^2(x/2) ]
  cos(x/2) = - pierwiastek [ 1 - (4/5)^2 ] = - pierwiastek [ 25/25 - 16/25 ]
  cos(x/2) = - pierwiastek [ 9 / 25 ]
  cos(x/2) = - 3 / 5
  
  Liczymy sin(x) korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta, czyli:
  sin(x) = sin [ 2 * (x/2) ] = 2 sin(x/2) cos(x/2)
  sin(x) = 2 * (4/5) * ( - 3/5) = - 24 / 25
  
  Liczymy cos(x) korzystając ze wzoru na kosinus podwojonego kąta, czyli:
  cos(x) = cos [ 2 * (x/2) ] = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)
  cos(x) = (-3/5)^2 - (4/5)^2 = - 7 / 25
  
  Liczymy tangens jako sin/cos
  tg(x) = sin(x) / cos(x)
  tg(x) = (- 24/25) / (- 7/25) = plus 24 / 7
  --------------------------
  
  Zobaczmy jeszcze, czy te wyniki mają sens. Sinus i kosinus kąta x wyszły ujemne, a tangens dodatni, więc kąt x należy do III ćwiartki. Faktycznie - jak narysujesz sobie okrąg o promieniu 5 to kąt x/2 mierzymy od dodatniego kierunku osi OX do odcinka łączącego punkty (0;0) i (-3;4)
  (to jest około 127 stopni czyli tak "bardziej pionowo" na lewo od osi OY). Ten punkt (-3;4) wybrałem dlatego, że wtedy cos(x/2) = współrzędna X / promień okręgu = -3/5, oraz sin(x/2) = współrzędna Y / promień okręgu = 4/5.
  Wobec tego kąt x = 2 * 127 = 254 stopnie, co jest mniej niż 270 i więcej 180 stopni, czyli faktycznie III ćwiartka.
  Piszę tę analizę abyś widziała, jak sprawdzać wyniki trygonometrycznych obliczeń, szczególnie wtedy, gdy NIE mamy do czynienia ze zwykłym "kątem ostrym". Dla innych kątów mogą być niespodzianki :)
  ======================================================
  
  Zadanie 7b)
  Robimy analizę : gdzie jest ten kąt
  Mamy x należy do (3pi; 4pi) czyli x/2 należy do (3pi/2; 2pi). To jest IV ćwiartka,
  czyli cosinus jest dodatni, sinus ujemny. Liczymy sin(x/2)
  
  sin(x/s) = minus pierwiastek [ 1 - (2/3)^2 ] = minus pierwiastek(5/9)
  sin(x / 2) = - pierwiastek(5) / 3
  
  Dalej jak poprzednio:
  sin(x) = sin(2 * x/2) = 2 * sin(x/2) * cos(x/2)
  sin(x) = 2 * [ - pierwiastek(5) / 3 ] * (2/3)
  sin(x) = - (4 / 9) * pierwiastek(5)
  
  cos(x) = cos(2 * x/2) = cos^2(x^2) - sin^2(x/2)
  cos(x) = (2/3)^2 - [ - pierwiastek(5) / 3 ]^2 = 4/9 - 5 / 9
  cos(x) = - 1 / 9
  
  tg(x) = sin(x) / cos(x)
  tg(x) = [ - (4 / 9) * pierwiastek(5) ] / [ - 1 / 9 ]
  tg(x) = 4 * pierwiastek(5)
  -------------------------
  
  Sprawdzamy:
  Na kole o promieniu = 3 zaznaczamy punkt [ 2; - pierwiastek(5) ]
  czyli około (2; -2,25)
  To wyznacza kąt x/2, około 312 stopni. Jest to między 270 i 360 stopni, czyli faktycznie IV ćwiartka.
  Kąt x wynosi wtedy 2 * 312 = 624 stopnie = około (3 i 1/2) pi czyli jest w przedziale (3pi; 4pi). Zgadza się.
  Możemy odjąć 2pi (360 stopni) od kąta x. Daje to 624 - 360 = 264 stopnie, czyli III ćwiartka. Faktycznie, wtedy tangens jest dodatni, a sinus i kosinus x ujemne, też się zgadza.
  Czemu odejmuję 2pi? Bo wartości funkcji trygonometrycznych powtarzają się co 2pi, wię cą takie same dla kąta 624 stopnie i 264 stopnie, a kąt 264 stopnie łatwiej sobie wyobrazić.
  ======================================================
  
  PS:
  Jak wpiszesz w kalkulator wielkość - pierwiastek(5) / 3 czyli około minus 0,745
  i zrobisz funkcję ascsin (czyli INV SIN, zależy od kalkulatora)
  to dostajesz w stopniach około minus 48,2 stopnia.
  Jest tak dlatego, że kalkulator NIE rozumie stopni poza -90 do +90.
  Wtedy dodajemy: - 48,2 + 360 = około 312. Stąd wnioskowałem o kącie x/2.
  
  Napisz proszę na priv, jeśli z tymi kątami jest coś niejasne.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    sama 28.9.2017 (10:47)

    Dziękuję wszystko jasne :)