Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 14.9.2017 (08:45)

  Przydatna uwaga o funkcji monotonicznej:
  Jeśli funkcja f(x) jest rosnąca to gdy wiemy, że np: f(a) > f(b)
  to wnioskujemy, że także jej argumenty spełniają nierówność a > b
  (NIE zmieniamy kierunku nierówności)
  Jeśli funkcja jest malejąca o przeciwnie - zmieniamy ten kierunek czyli
  Gdy f(a) > f(b) to wnioskujemy, że a < b.
  =========================================================
  
  Zadanie 6.
  Zbiór A: Zapiszmy 16 i 9 jako potęgi 2 i 3. Mamy wtedy takie warunki:
  Warunek na x: 2 ^ | x | <= 2^4
  Warunek na y: 3 ^ | y - 1 | <= 3^2
  Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie > 1 jest rosnąca to wnioskujemy, że:
  | x | <= 4
  | y - 1 | <= 2
  Warunek na x daje przedział: x należy do < -4; 4 >
  Warunek na y daje przedział: y - 1 należy do < -2; 2>
  czyli y należy do < -1; 3 >
  Zbiór A jest prostokątem ograniczonym
  pionowymi prostymi x = -4 i x = 4
  oraz poziomymi prostymi y = -1 i y = 3.
  Brzeg tego prostokąta NALEŻY do zbioru A, gdyż nierówności w zadaniu są nieostre.
  
  Zbiór B:
  Zapisujemy warunek jako: 2 ^ ( | x | + | y | ) <= 2^3.
  Jak poprzednio, ponieważ jest to rosnąca funkcja wykładnicza to mamy wniosek:
  
  | x | + | y | <= 3
  
  Jest to opis kwadratu o wierzchołkach w punktach: (-3; 0), (3; 0), (0; -3), (0; 3).
  (Brzeg kwadratu należy do zbioru B, bo nierówność jest nieostra).
  Pokażmy to "formalnie".
  Zauważ, że środek układu współrzędnych, punkt (0; 0) spełnia nierówność z zadania. To się przyda za chwilę. Mamy cztery przypadki:
  
  a) Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych, gdy x > 0 oraz y > 0.
  Pozbywamy się wtedy wartości bezwzględnych i mamy : x + y <= 3
  Równanie : x + y = 3 opisuje prostą przechodzącą przez (3; 0) i (0; 3).
  Nierówność opisuje jedną ze półpłaszczyzn, na które ta prosta dzieli płaszczyznę
  (narysuj to sobie proszę).
  Wykorzystujemy teraz fakt, że punkt (0; 0) jest rozwiązaniem i zaznaczamy półpłaszczyznę na lewo i w dół od prostej x + y = 3.
  
  b) Druga ćwiartka układu, x < 0, y > 0. Nierówność przechodzi na:
  - x + y <= 3
  Odpowiednia prosta ma równanie -x + y = 3 ; przechodzi przez (-3; 0) i (0; 3).
  Jak poprzednio wykorzystujemy punkt (0; 0) i zaznaczamy półpłaszczyznę na prawo i do dołu od tej prostej.
  
  c) Trzecia ćwiartka: x < 0, y < 0 czyli nierówność to: -x - y <= 3.
  Prosta -x - y = 3 przechodzi przez (-3; 0) i (0; -3)
  Zaznaczamy półpłaszczyznę na prawo i do góry od prostej.
  
  d) Czwarta ćwiartka: x > 0; y < 0. Nierówność: x - y <= 3.
  Prosta x - y = 3 przechodzi przez (3; 0) i (0; -3).
  Zaznaczamy półpłaszczyznę na lewo i do góry od prostej.
  
  Przecięcie wszystkich półpłaszczyzn zaznaczonych powyżej daje właśnie kwadrat, o którym pisałem na początku
  ---------------------------------------------
  
  Zbiór A n B to część wspólna prostokąta A i kwadratu B.
  UWAGA: Brzeg kwadratu B leżący wewnątrz prostokąta A należy do A n B.
  Należą tam też wszystkie punkty przecięcia brzegów obu zbiorów, zaznacz je kropkami !
  
  Zbiór B \\ A to ta część kwadratu B, która NIE należy do prostokąta A.
  [ Przepraszam, przeglądarka zamienia mi uparcie jeden znak "backslash" na dwa ]
  Jest to trójkąt z wierzchołkami w punktach (-2; -1) , (2; -1), (0; -3).
  Ukośne brzegi tego trójkąta należą do B \\ A,
  natomiast odcinek (-2; -1) do (2; -1) NIE należy, bo jest to brzeg zbioru A ; jego końce też NIE należą do B \\ A (zaznacz to pustymi kółkami).
  =========================================================
  
  Zadanie 7a.
  Pierwszy warunek zapisujemy jako: 2^1 <= 2^y <= 2^4
  i ponieważ jest to funkcja rosnąca to wnioskujemy, że 1 <= y <= 4
  co oznacza przedział : y należy do < 1; 4 >
  Ta część opisuje pasek płaszczyzny ograniczony poziomymi prostymi
  y = 1; y = 4
  razem z brzegiem, czyli z tymi prostymi.
  
  Drugi warunek: równanie y = x^2 opisuje parabolę w kształcie U, wierzchołek w (0; 0).
  Ponieważ np. punkt (0; 1) spełnia nierówność y >= x^2 więc ta nierówność daje
  wnętrze paraboli (łącznie z nią samą)
  
  Oba warunki wycinają z płaszczyzny coś w rodzaju "miski z płaskim dnem"
  (razem z brzegiem).
  Jej wierzchołki to punkty: (-1; 1), (1; 1), (-2; 4), (2; 4).
  
  Punkty całkowite należące do zbioru A :
  (-2; 4), (-1; 4), (0; 4), (1; 4), (2; 4)
  (-1; 3), (0; 3), (1; 3)
  (-1; 2), (0; 2), (1; 2)
  (-1; 1), (0; 1), (1; 1)
  Razem: 5 + 3 * 3 = 14 punktów.
  =========================================================
  
  Zadanie 7b.
  Warunek na x zapisujemy jako 2^1 <= 2 ^ | x | <= 2^2 ; stąd wniosek, że
  1 <= | x | <= 2
  
  Jeśli x > 0 to zapisujemy nierówność jako:
  1 <= x <= 2, czyli x należy do < 1; 2 >
  Jeśli x < 0 to zapisujemy nierówność jako:
  1 <= - x <= 2, mnożymy przez -1 zmieniając kierunek nierówności:
  -2 >= x >= 1 czyli x należy do < -2 ; -1>
  
  Warunek na x daje więc DWA pionowe paski (oba z brzegami),
  jeden między x = -2 i x = -1, drugi między x = 1 i x = 2
  
  Warunek na y zapisujemy jako 2 ^ | y | <= 2^3 ; czyli | y | <= 3.
  Ta nierówność opisuje zbiór: y należy do < -3; 3 >
  i przedstawia poziomy pasek zawarty między y = -3 i y = 3 (z brzegiem).
  
  Połączenie obu warunków daje zbiór A w postaci DWÓCH prostokątów,
  pierwszy z wierzchołkami w (-2; -3), (-2; 3), (-1; -3), (-1; 3)
  drugi z wierzchołkami w (2; -3), (2; 3), (1; -3), (1; 3).
  Oba z brzegami, bo nierówności są nieostre.
  
  Liczymy punkty całkowite.
  Na najbardziej prawej, pionowej krawędzi prostokąta są to punkty:
  (2; -3), (2; -2), (2; -1), (2; 0), (2; 1), (2; 2), (2; 3) czyli 7 punktów.
  Na innych pionowych krawędziach też jest po 7 punktów.
  Razem: Do A należy 4 * 7 = 28 punktów o współrzędnych całkowitych.
  =========================================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv :)))

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    sama 14.9.2017 (08:46)

    Dziękuję BARDZOOOOOOO , :)