Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 15.5.2017 (07:50)

  Zadanie 1.
  a)
  W takim zapisie prostej istnieje umowa, że jeśli w mianowniku jest zero,
  to licznik przyjmujemy za zero, czyli w każdym punkcie prostej y = -2.
  To pasuje do punktów A i B.
  Wyrzucamy środkowy ułamek i patrzymy, czy (x - 1) / (-1) = (z - 5) / (-3).
  Punkt A spełnia tą równość [ mamy 0 = 0 ]
  Punkt B także - dostajemy -2 = - 2.
  Czyli oba punkty należą do tej prostej.
  =============================================================
  
  b)
  Podstawiamy x, y, z ze wzoru prostej do równania płaszczyzny:
  3(1 + t) + 3(-2t) + (3 + 3t) - 6 ; upraszczamy, wszystko się skraca do 0.
  Punkty prostej spełniają równanie płaszczyzny dla każdego t,
  czyli tak, prosta jest zawarta w tej płaszczyźnie.
  =============================================================
  
  c)
  Punkt A: Podstawiamy (0,0,0) w miejsce (x,y,z) i mamy układ równań:
  0 = 1 + s - t
  0 = -3 - s + 2t
  0 = 4 - 2t
  Jest 3 równania i 2 niewiadome, ale układ jest liniowo zależny i ma jednoznaczne
  rozwiązanie s = 1, t = 2, czyli punkt A należy do tej płaszczyzny.
  Punkt B: Analogicznie:
  0 = 1 + s - t
  -1 = -3 - s + 2t
  3 = 4 - 2t
  Ten układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązania.
  Punkt B NIE należy do tej płaszczyzny.
  =============================================================
  
  d)
  Porównujemy prawe strony opisów x, y, z, mamy układ równań:
  t = -1 + s
  -2t = 2 - s
  3t = -3 + 4s
  Jest 3 równania i 2 niewiadome, ale układ jest liniowo zależny i ma jednoznaczne
  rozwiązanie s = 0, t = -1.
  TAK, podane proste przecinają się w punkcie (-1, 2, -3).
  =============================================================
  
  e)
  Wybieramy dwa różne punkty spełniające równanie prostej.
  Na przykład; A(-5, 0, 3) i B(-7, 1, 2).
  Liczymy ich odległość od płaszczyzny danej wzorem ax + by + cx + d = 0.
  Tą odległość L dla punktu (x0,, y0, z0) określa wzór:
  L = (ax0 + by0 + cx0 + d) / pierwiastek(a^2 + b^2 + c^2).
  Wystarczy policzyć licznik.
  Punkt A: 1 * (-5) + 1 * 0 + (-1) * 3 + 15 = 7
  Punkt B: 1 * (-7) + 1 * 1 + (-1) * 2 + 15 = 7
  Odległości są jednakowe więc prosta jest równoległa do płaszczyzny.
  =============================================================
  
  f)
  Jeśli płaszczyzny są równoległe to ich opis w postaci ax + by + cz + d = 0
  różni się jedynie stałą "d".
  Wstawiamy x, y, z z opisu drugiej płaszczyzny do wzoru pierwszej płaszczyzny:
  2(-5+t) + 3(2 + 5s + t) - 5(1 + 3s + t); przekształcamy
  Upraszcza się s, t, zostaje tylko -9
  Czyli punkty drugiej płaszczyzny spełniają równanie:
  2x + 3y - 5z + 9 = 0
  więc płaszczyzny są równoległe.
  =============================================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj