Treść zadania

Rozwiązania

• 

  5 0

  antekL1 8.5.2017 (08:18)

  Przyjmijmy oznaczenia jak w treści zadania tylko pozwól, że od razu przeliczę jednostki na układ SI - będzie wygodniej sprawdzać wymiary wyników. Czyli mamy dane:
  
  S = 115 cm^2 = 0,0115 m^2 - powierzchnia okładki
  d = 1,24 cm = 0,0124 m - odległość okładek
  b = 0,78 cm = 0,0078 m - grubość dielektryka
  U = 85,5 V - napięcie
  εr = 2,61 - przenikalność względna dielektryka
  ε0 = 8,85 * 10^(-12) F/m - przenikalność dielektryczna próżni [ wziąłem z tablic ]
  
  a)
  C = ε0 S / d ; wstawiamy dane
  C = 8,85 * 10^(-12) * 0,0115 / 0,0124 = około 8,2 * 10^(-12) F = 8,2 pF
  Wymiar: (F/m) * m^2 / m = F
  ----------------------
  
  b)
  PRZED wsunięciem płyty:
  Ładunek Q = C U ; wstawiamy dane i obliczoną wyżej pojemność
  Q = 8,2 * 10^(-12) * 85,5 = około 7 * 10^(-10) C = 700 pC (piko-kulombów)
  Wymiar: F * V = C
  ----------------------
  
  To była "szkolna" część, teraz poważniej. Rysunek sugeruje użycie prawa Gaussa, ale nie będziemy od początku wyprowadzać wzorów, zakładam, że na wykładzie było twierdzenie, że wielkością, która się NIE zmienia, czy jest dielektryk czy nie, jest INDUKCJA pola elektrycznego, oznaczana "D".
  Zależność między indukcją D i natężeniem pola E jest taki: [ idealizujemy tutaj! :) ]
  
  D = εr ε0 E ; w powietrzu εr = praktycznie 1, więc D = ε0 E
  
  Poniżej zakładamy "idealny" kondensator - wektory pola prostopadłe do okładek itd.
  Stosujemy prawo Gaussa:
  suma ładunków wewnątrz zamkniętej powierzchni
  = całka powierzchniowa z wektora indukcji D
  ----------------------
  
  c)
  W idealnym kondensatorze pole jest prostopadłe do okładek i powyższa całka
  sprowadza się do prostego iloczynu [ przypominam: Q - ładunek na okładce ]
  (patrz na rysunku: "powierzchnia Gaussa 1" )
  
  Q = D S ; czyli: Q = ε0 E S ; stąd: E = Q / (ε0 S)
  
  Wstawiamy dane i obliczone wyżej Q
  E = 7 * 10^(-10) / [ 8,85 * 10^(-12) * 0,0115 ] = około 6880 V / m
  Wymiar wyniku:
  [ E ] = C / [ (F/m) * m^2 ] = (C / F) / m = V / m (wolt na metr)
  ----------------------
  
  d)
  Ponieważ wektor D jest taki sam to teraz E1 = E / εr (natężenie maleje)
  E1 = 6880 / 2,61 = około 2640 V/m
  ----------------------
  
  e)
  Ta różnica potencjałów U1 to suma spadku napięcia na dielektryku, równa E1 * b
  i w szczelinie, równa E * (d - b)
  U1 = E1 b + E (d - b)
  Liczbowo:
  U1 = 2640 * 0,0078 + 6880 * (0,0124 - 0,0078) = około 52 V
  Wymiar wyniku jest oczywisty :)
  ----------------------
  
  f)
  Pojemność C1 = Q / U1
  Liczbowo - bierzemy Q z punktu (b) bo wsunięcie płyty NIE zmienia ładunku
  C1 = 7 * 10^(-10) / 52 = około 1,35 * 10^(-11) F = 13,5 pF.
  Jak widać pojemność wzrosła.
  ===============================
  
  PS: Pokażę Ci jeszcze inną technikę liczenia pojemności kondensatora z dielektrykiem.
  Przy okazji jest to test na poprawność wzorów.
  Jeśli wstawimy w punkcie (f) napięcie U1 z punktu (e) to mamy:
  
  C1 = Q / [ E1 b + E (d - b) ]
  
  Następnie podstawiamy E1 i E z punktów (c, d)
  
  C1 = Q / [ Q b / (εr ε0 S) + Q (d - b) / (ε0 S)] = εr ε0 S / (d εr + b - b εr)
  
  Teraz policzmy to inaczej. Obróć rysunek o 90 stopni i przesuń płytkę tak, aby dotknęła jednej z okładek (spokojnie, to tylko rysunek, nic się nie stanie). Mamy dwa kondensatory połączone SZEREGOWO:
  
  --------|Cp|----------|Cd|--------------- ; gdzie
  Cp - pojemność kondensatora powietrznego, odległość okładek: d - b
  Cp = ε0 S / (d - b)
  Cd - pojemność kondensatora dielektrycznego, odległość okładek: b
  Cd = εr ε0 S / b
  
  Wypadkową pojemność szeregowo połączonych kondensatorów liczy się tak:
  C1 = Cp Cd / (Cp + Cd) ; wstawiamy wzory z góry
  
  C1 = [ ε0 S / (d - b) ] * [ εr ε0 S / b ] / [ ε0 S / (d - b) + (εr ε0 S / b) ] ; męczymy się i mamy:
  
  C1 = εr ε0 S / (d εr + b - b εr)
  
  Wychodzi TO SAMO co w punkcie (f) - musiało :)
  Tamta metoda z punktu (f) była prostsza, ale to tylko dlatego, że zadanie "prowadziło za rękę" przy obliczaniu kolejnych wielkości. Jeśli jednak spotkasz się z zadaniem gdzie tylko trzeba policzyć pojemność to właśnie traktuj takie płytki zajmujące część szczeliny jak szeregowe kondensatory, a takie płytki, które mają grubość równą szerokości szczeliny, ale są wsunięte do połowy - jak kondensatory połączone równolegle.
  To taka wskazówka od starego wygi...
  ----------------------
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Pozdro - Antek

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj

  • 

    antekL1 8.5.2017 (08:34)

    PS: Przekształcenia wzorów na końcu tekstu:
    Nie męczyłem się, tylko wstawiłem wzory do programu "Maxima", aby je uprościć :)
    Polecam !