Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 16.4.2017 (00:46)

  "Wariacje z powtórzeniami lub bez powtórzeń" pojawiają się gdy losujemy
  K elementów z N-elementowego zbioru, przy czym elementy mogą (z powtórzeniami)
  lub nie mogą (bez powtórzeń) się powtarzać.
  Istotne jest, że KOLEJNOŚĆ losowanych elementów JEST istotna
  - tym się różnią wariacje (bez powtórzeń) od kombinacji.
  Wzory:
  Z powtórzeniami; Mamy K losowań, za każdym razem N możliwości, więc :
  ilość_możliwości = N * N * N .... * N = N ^ K
  Bez powtórzeń: Pierwszy element losujemy na N sposobów, drugi na N-1 sposobów itd,
  powstaje więc iloczyn:
  ilość_możliwości = N * (N - 1) * ... (N - K + 1) = N ! / (N - K) !.
  Musi być w tym wypadku spełniony warunek: N >= K >= 0.
  Gdy K = N lub K = N - 1 to zamiast wariacji mamy permutacje w ilości N!
  Gdy K = 0 powyższy wzór daje po prostu ilość = 1.
  ================================
  
  Zadanie 70.
  Sprowadzimy zadanie do liczenia wariacji bez powtórzeń.
  W podanym zbiorze mamy dwie cyfry nieparzyste. { 1; 7 } z których losujemy jedną
  jako końcową cyfrę tworzonej liczby.
  Losujemy więc K = 1 element z N = 2 czyli
  ilość_możliwości = 2! / (2 - 1)! = 2
  Wiem, że można to napisać od razu, ale chciałaś zadania "z wariacji".
  
  W zbiorze z zadania użyliśmy jednej cyfry, mamy do dyspozycje jeszcze 4.
  Z pozostałych czterech cyfr (N = 4) losujemy trzy (K = 3) aby dokończyć liczbę.
  ilość_możliwości = 4! / (4 - 3)! = 4*3*2*1 / 1 = 24
  
  Mnożymy obie otrzymane ilości
  ilość_liczb = 2 * 24 = 48.
  ================================
  
  Zadanie 72.
  Znów ten problem: Czy jeśli na początku liczby jest cyfra zero to jest poprawna liczba, czy nie? Weźmy oba przypadki. Dysponujemy zbiorem cyfr: { 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } [ czyli N = 8 ] bo cyfry 1 i 2 są już na swoich miejscach. Tworzona liczba ma postać: xxx12x
  Mamy 4 miejsca które losujemy z 8 możliwości.
  
  A: Na początku może być zero.
  Mamy wariacje 4 z 8 [ czyli N = 8; K = 4 ]
  ilość_liczb = 8 ! / ( 8 - 4) ! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680
  
  B: Na początku NIE może być zera.
  Pierwszą cyfrę losujemy na sposobów ze zbioru { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (nie będę się bawić z wariancją, dobrze? Pozostałe 3 cyfry losujemy też ze zbioru SIEDMIU elementów, bo wprawdzie jedna cyfra wypadła, ale doszło zero. Tu mamy wariancje: N = 7, K = 3.
  Ilość_możliwości = 7! (7 - 3)! = 7 * 6 * 5 = 210
  
  Mnożymy obie otrzymane ilości
  ilość_liczb = 7 * 210 = 1470.
  Jak widzisz - mniej ni z w przypadku A, odpada te 210 szans z zerem na początku.
  ================================
  
  Zadanie 73.
  Zadanie podobne do zadania 72, ale więcej liczenia.
  Te liczby mają postać: xxYYxP gdzie: YY do albo 24 albo 13, natomiast P - cyfra parzysta.
  Też nie wiadomo czy może być zero na początku czy nie. Powiedzmy, że może, bo będzie za dużo przypadków do analizy. Jeśli się odpowiedź nie zgodzi, to proszę zamieść to zadanie ponownie.
  
  a)
  Liczby są postaci: xx24xP
  Ponieważ wykorzystaliśmy już 2 i 4 to jako cyfra P może wystąpić jedna ze zbioru: { 0, 6, 8 }
  Trzy sposoby.
  Cyfry "x" losujemy z pozostałych 7 cyfr ( { 1, 3, 5, 7, 9 } i dwie co zostały z { 0, 6, 8 } )
  Mamy wariacje: N = 7, K = 3
  ilość_możliwości = 7 ! / (7 - 3)! = 7 * 6 * 5 = 210
  
  Wymnażamy: Ilość_liczb = 3 * 210 = 630.
  
  b)
  Liczby są postaci: xx13xP
  Teraz mamy pełne 5 możliwości na ostatnią cyfrę ze zbioru: { 0, 2, 4, 6, 8 }
  Pozostałe 3 cyfry - jak poprzednio, z siedmiu niewykorzystanych cyfr, więc znów:
  Mamy wariacje: N = 7, K = 3
  ilość_możliwości = 7 ! / (7 - 3)! = 7 * 6 * 5 = 210
  
  Wymnażamy: Ilość_liczb = 5 * 210 = 1050.
  
  Jeśli te odpowiedzi są złe, to oznacza, że autor zadania zakłada, że zero NIE może być na początku. Wtedy jednak trzeba rozbić podpunkty (a, b) na drobniejsze przypadki, gdyż jeśli końcu jest zero, to mamy większą swobodę wyboru pozostałych cyfr niż wtedy, gdy na końcu jest inna cyfra.
  ================================
  
  Zadanie 68.
  Problem z zerem na początku - jak zwykle.Teraz może dla odmiany zróbmy założenie, że pierwszą cyfrą NIE może być zero i rozbijmy zadanie na dwie rozłączne sytuacje. Potem zsumujemy oba przypadki.
  
  A) Ostatnią cyfrą jest zero. - tylko jedna możliwość.
  Pozostałe 3 cyfry losujemy już bez problemów z 9 pozostałych cyfr
  N = 9, K = 3
  ilość_możliwości = 9 ! / (9 - 3)! = 9 * 8 * 7 = 504
  
  B) Ostatnią cyfrą NIE jest zero, czyli losujemy ją z { 2, 4, 6, 8 }
  Cztery możliwości.
  
  Pierwszą cyfrę losujemy z 8 możliwych (bo NIE zero i jedna cyfra już wypadła)
  Osiem możliwości.
  
  Pozostałe 2 cyfry losujemy ponownie z OŚMIU, bo zero staje się możliwe.
  N = 8, K = 2
  ilość_możliwości = 8! / (8 - 2)! = 8 * 7 = 56
  
  Mnożymy : 4 * 8 * 56 = 1792
  
  Sumujemy przypadki A i B
  Liczebność_zbioru = 504 + 1792 = 2296
  -------------------
  
  PS: Gdyby zero było dozwolone jako pierwsza cyfra to ostatnią losujemy
  ze zbioru: { 0, 2, 4, 6, 8 } - 5 możliwości
  a pozostałe trzy cyfry (K = 3) ze zbioru pozostałych 9 cyfr (N = 9)
  Ilość_możliwości = 9! / (9 - 3)! = 9 * 8 * 7 = 504
  
  Mnożymy: Liczebność_zbioru = 5 * 504 = 2520.
  Jak widzisz - więcej niż poprzednio bo dopuszczamy początkowe zero.
  ================================
  
  W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie