Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 14.4.2017 (14:45)

  Uwaga do zadań 46, 53 i 54:
  "Ilość permutacji" jest to ilość sposobów na które można uporządkować N różnych
  elementów zbioru, stawiając je jeden za drugim (NIE w kółko !).
  Na pierwszym miejscu można postawić dowolny z N elementów [ "N" sposobów ]
  Na drugim miejscu stawiamy dowolny z N - 1 elementów - tak dalej.
  W rezultacie ilość permutacji to N! [ czytaj "N silnia" ], taki iloczyn:
  
  ilość = N! = N * (N - 1) * (N - 2) * (N - 3) * ... * 3 * 2 * 1
  Przykład:
  4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
  ====================================
  
  Zadanie 53.
  Trzeba się umówić czy można umieścić zero jako pierwszą cyfrę liczby,
  tzn. czy np. zapis: 0123 jest poprawny. Spróbuję pokazać obie możliwości - jest lub nie.
  
  A) Można.
  Jeśli liczba ma być podzielna przez 5 to ma się kończyć zerem lub piątką.
  Jak się kończy zerem to pozostałe cyfry ze zbioru { 3, 4, 5 } można poprzestawiać
  na 3! = 3 * 2 * 1 = 6 sposobów. Dostajemy takie liczby:
  { 3450, 3540, 4350, 4530, 5340, 5430 }
  Jak się kończy piątką to znów mamy 6 sposobów:
  { 0345, 0435, 3045, 3405, 4035, 4305 }
  
  Razem wychodzi 6 + 6 = 12 liczb spełniających warunki zadania.
  
  B) Nie można.
  Rozumujemy jak wyżej, ale trzeba odrzucić liczby 0345 i 0435.
  Zostaje 10 liczb.
  ====================================
  
  Zadanie 46.
  Weźmy teraz to ostatnie zadanie.
  Jest to samo pytanie co w zadaniu 53.
  
  A) Można:zacząć zerem ? to mamy 3! = 3 * 2 * 1 = 6 możliwości
  { 012, 021, 102, 120, 201, 210 }
  
  B) Nie można - to odrzucamy 012 i 021, zostaje 4 możliwości
  ====================================
  
  Zadanie 54.
  Tu nie ma tego dylematu co w zadaniu 53, bo liczba parzysta i podzielna przez 5
  MUSI być też podzielna przez 2 * 5 = 10, więc MUSI kończyć się zerem.
  Pozostałe cyfry są różne - są ze zbioru { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 }, który ma 7 elementów.
  Ilość sposobów jest więc równa ilości permutacji N = 7-elementów czyli
  ilość = 7! = 7 * 6 * 6 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
  ====================================
  
  Zadanie 58.
  To zadanie też jest dla mnie niejednoznaczne.
  A)
  Jeśli chodzi ilość zwycięzców finałów to gdy są po 4 drużyny w każdej z grup
  to jest po 4 możliwości zwycięzcy, a jeśli jeszcze finaliści grup grają ze sobą,
  to każda z 8 drużyn może być zwycięzcą czyli 8 możliwości - tyle ile drużyn.
  
  B)
  Ale prawdopodobnie chodzi o to, jakie są możliwe ustawienia drużyn
  "która z którą zagra finał" ? Weźmy grupę A.
  Składa się ona z równorzędnych drużyn { a1, a2, a3, a3 }
  Losujemy pierwszą drużynę do finału - 4 sposoby
  Losujemy drugą drużynę do finału - 3 sposoby, bo sami ze sobą nie grają.
  ALE TERAZ WAŻNE: Wydaje się, że możliwości jest 4 * 3 = 12.
  Jednak nie - bo jeśli losowanie wybierze najpierw a1, potem a2
  albo najpierw a2, potem a1, to i tak gra para { a1, a2 }.
  Czyli ilość możliwości trzeba PODZIELIĆ PRZEZ 2! = 2.
  Mamy więc 12 / 2 = 6 typowań na końcowy mecz w grupie A.
  W matmie nazywa się to "symbol Newtona" [ patrz Wiki ] i stosuje się gdy losowane elementy są
  
  różne, ale kolejność ich ustawienia NIE jest ważna. Przydaje się do zadań z urnami pełnymi
  
  różnokolorowych kulek.
  Symbol Newtona, czytany tutaj "4 nad 2" oznacza:
  
  4! / [ 2! * (4 - 2)! ] = 4 * 3 / (2 * 1) = 6
  
  C)
  Znów nie wiem, czy finaliści grup grają jeszcze ze sobą.
  Jeśli tak, to mamy 4 * 4 = 16 możliwych ustawień końcowego meczu,
  bo losujemy jednego wygranego z A = { a1, a2, a3, a4} i jednego z grupy B.
  
  Jak widzisz, to jest cholernie niejednoznaczne zadanie.
  ====================================
  
  Zadanie 61.
  Znów niejednoznaczne zadanie bo nie wiem, czy pozostałe cyfry mogą się powtarzać, czy nie. Będzie dwa przypadki. Ale wspólne dla nich będzie ustalenie ile jest możliwych ustawień cyfry 8. Liczba ma być nieparzysta, więc na końcu nie może być "8". Mamy 5 pozycji i 3 ósemki. Rozumujemy tak, jak w zadaniu 58, czyli na 5 sposobów wyznaczamy pozycję pierwszej ósemki, na 4 sposoby - drugiej, na 3 sposoby - trzeciej. Ale ponownie mamy sytuację, że kolejność losowania jest NIEWAŻNA, czyli każdy zestaw pozycji (grupami po 3! = 6) traktujemy jako jeden układ. Stosujemy "symbol Newtona":
  
  (5 nad 3) = 5! / [ 3! * (5 - 3)! ] = 5 * 4 * 3 / 6 = 10 ustawień cyfr "8".
  
  Do dyspozycji pozostaje 3 miejsca na cyfry { 1, 5, 6 }.
  Przykłady - w miejsce kropek mamy wstawić brakujące cyfry:
  
  888... ; 88.8.. ; 88..8. ; 8.88.. ; 8..88. ; 8.8.8. ;
  .888.. ; .88.8. ; .8.88. ; ..888.
  
  A) Cyfry 1, 5, 6 mogą się powtarzać.
  Wtedy na każdym z 3 miejsc może być każda z trzech cyfr, co daje: 3^3 = 27 układów.
  Mnożymy to przez ilość ustawień "ósemek"
  ilość_liczb = 10 * 27 = 270
  
  B) Cyfry 1, 5, 6 NIE mogą się powtarzać.
  Wtedy permutujemy je na 3! = 6 sposobów [ bo kolejność tutaj JEST ważna ] i mamy:
  ilość_liczb = 10 * 6 = 60
  ====================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie