Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.3.2017 (00:23)

  a)
  Wyraz x^3 jest dominujący we wielomianie, glatego:
  Funkcja dąży do -oo gdy x dąży do -oo
  Funkcja dąży do +oo gdy x dąży do +oo
  
  Liczymy pochodną i porównujemy do zera
  f ' (x) = 3x^2 + 2x - 1 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = 2^2 - 4 * 3 * (-1) = 16 ; pierwiastek(delta) = 4.
  x1 = (-2 - 4) / 6 = -1
  x2 = (-2 + 4) / 6 = 1 / 3
  
  W punkcie x = -1 pochodna zmienia znak z plusa na minus,
  więc w tym punkcie jest MAKSIMUM lokalne
  
  W punkcie x = 1/3 pochodna zmienia znak z minusa na plus
  więc w tym punkcie jest MINIMUM lokalne.
  
  Funkcja jest rosnąca w przedziale (- oo; - 1) U ( 1 / 3; +oo)
  Funkcja jest malejąca w przedziale ( - 1; 1 / 3)
  Wykres (plik "wykresA.pdf") jest w załączniku
  =============================================
  
  b)
  Podzielmy licznik i mianownik przez x^2 : f(x) = 2 / (1 - 9/x^2)
  Widać z tego, że granica funkcji w obu nieskończonościach jest równa 2,
  więc funkcja ma asymptotę poziomą y = 2 .
  
  Mianownik jest zerem dla x1 = - 3 oraz x2 = 3
  Funkcja ma więc w tych punktach asymptoty pionowe
  
  Liczymy pochodną:
  
  f ' (x) = [ 4x (x^2 - 9) - 2x (2x^2) ] / (x^2 - 9)^2 ; upraszczamy, porównujemy do zera
  
  f ' (x) = -36 x / (x^2 - 9)^2 = 0
  
  Jedynym miejscem zerowym jest x = 0.
  Pochodna zmienia wtedy znak z plusa na minus [ zauważ - 36 x w liczniku ]
  więc jest to MAKSIMUM lokalne.
  
  Mianownik pochodnej jest dodatni w całej dziedzinie f(x)
  Licznik jst dodatni dla x < 0 czyli:
  
  Funkcja jest rosnąca w przedziale ( - oo; 0) \ { -3 }
  Funkcja jest malejąca w przedziale ( 0; oo) \ { 3 }
  
  [ Konkretnie, od lewej strony, dla ujemnych x :
  funkcja rośnie od 2 do +oo, potem "przeskakuje" na drugą stronę asymptoty w x = -3 i ponownie rośnie od -oo do zera.
  Dla dodatnich x :
  funkcja maleje od 0 do -oo; "przeskakuje" asymptotę w x =3 i ponownie maleje od oo do 2.
  
  Wykres (plik "wykresA.pdf") jest w załączniku
  Pionowe czerwone kreski to asymptoty pionowe.
  Pozioma asymptota nie jest zaznaczona.
  =============================================

  Załączniki

  • wykresa.pdf (5 KB)

  • wykresb.pdf (7 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie