Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 13.2.2017 (02:25)

  Granica ciągu:
  Stosujemy wzór: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
  gdzie :
  "a" jest pierwiastkiem zawierającym n+1,
  "b" - pierwiastkiem zawierającym n - 1.
  
  Mnożymy i dzielimy całe wyrażenie na An przez a^2 + ab + b^2. Dostajemy:
  
  Licznik = n^2 (n + 1) - n^2 (n - 1) = 2n^2
  
  Mianownik = p3 [ n^4 (n + 1)^2 ] + p3 [ n^4 (n^2 - 1) ] + p3 [ n^4 (n - 1)^2 ]
  
  gdzie p3 [ x ] to "pierwiastek_stopnia_3 (x)"
  
  Następnie dzielimy licznik i mianownik przez n^2. Zostaje:
  
  Licznik = 2
  
  Mianownik = p3 [ (1 + 1/n)^2 ] + p3 [ 1 - 1/n^2 ] + p3 [ (1 - 1/n)^2 ]
  
  Gdy n --> oo to mianownik --> 3 [ bo wyrażenia 1/n i 1/n^2 dążą do zera ]
  
  Granicą ciągu jest więc 2 / 3
  ==========================================
  
  Całka:
  Przekształcamy mianownik w taki sposób:
  x^2 + 10x + 26 = x^2 + 10x + 25 + 1 = (x + 5)^2 + 1
  
  Podstawiamy y = x + 5 ; wtedy dy = dx. Całka z zadania przechodzi na całkę:
  
  całka [ (y - 5) / (y^2 + 1) ] dy =
  = całka [ y / (y^2 + 1) ] dy - 5 * całka [ 1 / (y^2 + 1) ] dy
  
  Druga z tych całek to arctg(y), a w pierwszej podstawiamy
  
  t = y^2 + 1 ; wtedy dt = 2y dy ; czyli y dy = dt / 2
  
  i mamy (1/2) * całka [ dt / t ] = (1/2) ln(t) = (1/2) ln (y^2 + 1)
  
  Wracamy do zmiennej x. Całość wynosi:
  
  całka = (1/2) ln (x^2 + 10x + 26) - 5 * arctg(x + 5) + C
  ==========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie