Treść zadania

Rozwiązania

• 

  3 0

  antekL1 9.2.2017 (05:05)

  [ Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", ^3 jako "do sześcianu" itp. ]
  
  Mamy nierówność, którą przepiszemy w taki sposób:
  
  (x + 1/x - 2) + (x^2 + 1/x^2 - 2) + (x^3 + 1/x^3 - 2) <= 0
  
  Jednym z rozwiązań jest x = 1 (wtedy każdy z nawiasów jest równy 0)
  
  Załóżmy dalej,, że x jest różne od 1 [ oraz różne od zera ]
  ----------------------------
  
  Drugi i trzeci nawias, podstawiając y - x^2 lub y = x^3, można zapisać tak, jak pierwszy.
  Zbadajmy więc wyrażenie z pierwszego nawiasu.
  Sprowadzamy je do wspólnego mianownika:
  
  x + 1/x - 2 = (x^2 - 2x + 1) / x = (x - 1)^2 / x.
  
  Licznik (poza x = 1) jest zawsze dodatni więc wyrażenie to zależy od znaku x.
  
  Jeśli x > 0 to każdy nawias jest dodatni, więc liczby x > 0 (poza x = 1) NIE SĄ rozwiązaniami nierówności z zadania. Z kolei dla x < 0 nawiasy zawierające x i x^3 są ujemne, a nawias zawierający x^2 jest dodatni.
  
  Jeśli wykażemy, że suma środkowego i ostatniego nawiasu jest ujemna dla x < 0
  to udowodnimy, że nierówność jest prawdziwa dla x < 0.
  
  Zbadajmy wyrażenie: W = x^3 + 1/x^3 + x^2 + 1/x^2
  Sprowadzamy "W" do wspólnego mianownika:
  
  W = (x^6 + x^5 + x + 1) / x^3 = (x^5 + 1)(x + 1) / x^3
  
  Rozpatrujemy TYLKO ujemne x.
  Dla x = -1 mamy W(-1) = 0.
  Dla x < -1 w liczniku są dwie liczby ujemne dające w iloczynie dodatnią, a w mianowniku jest liczba ujemna.
  Dla x > -1 w liczniku są dwie liczby dodatnie dające w iloczynie dodatnią, a w mianowniku jest liczba ujemna.
  
  Wobec tego W <= 0 dla x < 0.
  
  Wobec tego suma środkowego i trzeciego nawiasu jest ujemna, bo jeszcze odejmujemy 4.
  Pierwszy nawias też jest ujemny więc całe wyrażenie jest ujemne.
  ---------------------------
  
  Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór: ( - oo; 0) U { 1 }
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  W załączniku jest wykres funkcji:
  czerwony - f(x) = x + 1/x
  zielony - g(x) = x^2 + 1/x^2
  niebieski - h(x) = x^3 + 1/x^3
  Widać, że niebieski wykres jest najbardziej "stromy",co może pomóc przy tych rozważaniach na temat sumy trzech nawiasów.
  

  Załączniki

  • wykres.pdf (10 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie