Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 8.2.2017 (10:41)

  Zadanie 8.
  a)
  Podstawa jest kwadratem i ma bok o długości "a".
  Wysokość graniastosłupa (jest to prostopadłościan) oznaczmy przez "h".
  Ściana boczna jest więc prostokątem o bokach "a" i "h".
  Z tw. Pitagorasa dostajemy równanie:
  
  a^2 + h^2 = 12^2
  
  Przekątna podstawy ma długość a * pierwiastek(2) i tworzy z wysokością graniastosłupa i jego przekątną trójkąt prostokątny (przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną). Ponownie z tw. Pitagorasa dostajemy równanie:
  
  [ a * pierwiastek(2) ]^2 + h^2 = 13^2 ; czyli
  2a^2 + h^2 = 13^2
  
  Od drugiego równania odejmujemy stronami pierwsze. Skraca się h^2
  
  a^2 = 13^2 - 12^2 ; stąd
  a^2 = 25
  a = 5
  
  Z pierwszego równania:
  h^2 = 12^2 - a^2 = 144 - 25 = 119
  h = pierwiastek(119)
  ===========================================
  
  b)
  Boki podstawy to a = 8; b = 5.
  Z tw. Pitagorasa liczymy kwadrat trzeciego boku podstawy c^2
  
  c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 5^2 = 89 ; samego "c" nie warto liczyć, patrz niżej
  
  Wysokość graniastosłupa h = 10.
  Ściany boczne są prostokątami o bokach (a,h), (b,h) i (c,h).
  Liczymy ich przekątne z tw. Pitagorasa.
  
  ściana (a,h) : d1 = pierwiastek(a^2 + h^2) = pierwiastek(164) = 2* pierwiastek(41)
  ściana (b,h) : d1 = pierwiastek(b^2 + h^2) = pierwiastek(125) = 5* pierwiastek(5)
  ściana (c,h) : d1 = pierwiastek(c^2 + h^2) = pierwiastek(189) = 3* pierwiastek(21)
  W ostatnim obliczeniu wystarczyła znajomość c^2.
  ===========================================
  
  c)
  Weź proszę rysunek takiego ostrosłupa z poprzedniego zadania (rysunek środkowy w dolnych rzędzie). Dorysuj wysokość ściany bocznej i odcinek łączący początek tej wysokości i środek podstawy ostrosłupa.
  Dlugość tego odcinka oznaczamy "h".
  Tworzy się trójkąt prostokątny, liczymy h^2
  
  h^2 = 10^2 - 5^2 = 75 ; czyli h = pierwiastek(75)
  
  Zauważ, że odcinek h jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego łączącego dwa sąsiednie wierzchołki podstawy z jej środkiem. Jeśli bok podstawy oznaczymy przez "a", to:
  
  h = a * pierwiastek(3) / 2 ; czyli
  a = 2h / pierwiastek(3) ; podstawiamy h policzone wyżej
  a = 2 * pierwiastek(75) / pierwiastek(3) = 2 * pierwiastek(25) = 10
  ===========================================
  
  d)
  Podobny rysunek jest po lewej stronie na dole w poprzednim zadaniu. Dorysuj przekątne podstawy. Połowa przekątnej, wysokość ostrosłupa (oznaczmy ją h) i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym:
  
  h^2 = 7^2 - d^2 ; gdzie d jest długością połowy przekątnej.
  
  Z tw. Pitagorasa dla podstawy ostrosłupa mamy:
  
  (2d)^2 = 2^2 + 4^2 ; stąd:
  4d^2 = 20 ; czyli
  d^2 = 5
  
  Wstawiamy d^2 do wzoru na h^2
  
  h^2 = 49 - 5 = 44 ; czyli h = pierwiastek(44) = 2 8 pierwiastek(11)
  ===========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie