Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 7.2.2017 (04:33)

  wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji i ekstrema lokalne:
  f(x)=pierwiastek trzeciego stopnia z (2x^3-3x^2)
  
  Fajna funkcja - wykres jest w załączniku "wykres1.pdf".
  Czerwony fragment oznacza cześć, w której 2x^3 - 3x^2 = x^2 (2x - 3) < 0,
  czyli przedział (-oo; 3 / 2).
  Czarna linia to część gdzie pod pierwiastkiem jest liczba dodatnia lub zero
  czyli przedział < 3 / 2 ; +oo)
  
  Ponieważ pierwiastek jest stopnia 3, a pod pierwiastkiem jest wielomian,
  to dziedziną f(x) są wszystkie liczby rzeczywiste ; D = R.
  Poza tym funkcja jest ciągła w punkcie x = 0 i x = 3/2, choć nie ma tam pochodnej.
  Policzmy tą pochodną:
  
  f ' (x) = 2x (x - 1) / (2x^3 - 3x^2)^(2/3)
  f ' (x) = [ 2 / x^(2/3) ] * (x - 1) / (2x - 3)^(2/3) = 0
  
  Zapisałem pochodną jak wyżej, aby pokazać jak zachowuje się pochodna f ' (x).
  Krytyczne są punkty x = 0 oraz x = 3/2.
  Mianownik f ' (x) jest dodatni w okolicy x = 0 z wyjątkiem punktu x = 0, gdy jest zerem.
  Licznik pochodnej zmienia znak z + na - gdy przechodzimy x = 0 z lewej na prawo.
  Granicą lewostronną pochodnej gdy x -->0- jest +oo, a prawostronną -oo.
  W punkcie x = 0 nie ma granicy i pochodna nie istnieje.
  
  Natomiast funkcja osiąga maksimum lokalne ponieważ jest ciągła w x = 0
  [ gdyż f(0) = 0 i granice f(x) z obu stron też wynoszą 0, a pochodna zmienia znak ]
  
  W przedziale ( - oo; 0) funkcja jest rosnąca
  W przedziale (0; 1) funkcja jest malejąca bo f ' (x) < 0
  
  W punkcie x = 1 jest minimum lokalne
  
  następnie pochodna jest dodatnia dla pozostałych x > 1 z wyjątkiem x = 3/2
  gdzie mianownik pochodnej jest zerem, ale licznik jest dodatni.
  Granicą pochodnej z obu stron jest +oo.
  
  Funkcja jest więc ponownie rosnąca, czyli jest taka w przedziale
  (1; +oo).
  
  DOKŁADNIE w punkcie x = 3 / 2 wykres funkcji staje się "pionowy",
  ale to NIE wyklucza tego punktu z dziedziny, gdyż f(3/2) = 0
  i take same są granice f(x) z obu stron, więc funkcja jest tam ciągła.
  ===============================================
  
  f(x)=pierwiastek z (4x^3-3x^4)
  
  Wyrażenie pod pierwiastkiem ma być nieujemne, czyli
  4x^3 - 3x^4 = x^3 (4 - 3x) >= 0 ; co oznacza, że
  Albo x^3 < 0 oraz 4 - 3x < 0 ; czyli x < 0 oraz x > 4/3 ; sprzeczność
  Albo x^3 >= 0 oraz 4 - 3x >= 0 ; czyli x >= 0 oraz x <= 4/3
  co daje przedział [bD = ]< 0; 4 / 3 >[/b] jako dziedzinę f(x).
  
  Liczymy pochodną
  
  f ' (x) = - 6 x^2 (1 - x) / pierwiastek (4x^3 - 3x^4) = 0
  
  Pochodna istnieje tam, gdzie istnieje funkcja z wyjątkiem x = 0 i x = 4/3.
  
  Dla x należących do ( 0; 1 ) f ' (x) > 0 i funkcja jest rosnąca
  Dla x należących do ( 1; 4/3 ) f ' (x) < 0 i funkcja jest malejąca
  W punkcie x = 1 mamy maksimum lokalne ; f(1) = 1.
  
  NIE zaliczyłem skrajnych punktów x = 0 i x = 4/3 do przedziałów monotoniczności,
  bo -moim zdanie - funkcja musi istnieć PO OBU STRONACH badanego punktu
  i być w nim ciągła aby można było mówić o monotoniczności w punkcie.
  ALE - jeśli uważasz inaczej, to dołącz te skrajne punkty !
  Wykres jest w załączniku "wykres2.pdf".
  ===============================================
  
  f(x)=(1/x)*e^x
  Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste poza x = 0 ; czyli D = R \ { 0 }
  Liczymy pochodną:
  
  f ' (x) =(-1/x^2) e^x + (1/x) e^x = (1 / x^2) e^x (1 - x)
  
  Funkcja jest więc malejąca dla przedziału ( - oo; 1) \ { 0 },
  w punkcie x = 1 fx) ma minimum lokalne i f(1) = e
  W zakresie ( 1; +oo) funkcja jest rosnąca.
  Wykres jest w załączniku "wykres3.pdf".
  ===============================================

  Załączniki

  • wykres1.pdf (6 KB)

  • wykres2.pdf (5 KB)

  • wykres3.pdf (5 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie