Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 5.2.2017 (23:02)

  lim ([pierwiastek(n^6+5)] -n^3-5n)
  n->∞
  
  Mnożymy i dzielimy wyrażenie pod granicą przez ([pierwiastek(n^6+5)] + n^3 + 5n)
  aby na podstawie wzoru: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 pozbyć się niewygodnej różnicy
  po pomnożeniu i podzieleniu dostajemy
  Licznik = ([pierwiastek(n^6+5)] - n^3 - 5n) * ([pierwiastek(n^6+5)] + n^3 + 5n)
  Licznik = n^6 + 5 - (n^3 + 5n)^2
  Licznik = -n^4 - 25 n^2 + 5
  Mianownik = ([pierwiastek(n^6+5)] + n^3 + 5n)
  Dzielimy licznik i mianownik przez n^3 [ czyli przez n^6 pod pierwiastkiem ]
  Dostajemy:
  
  lim [ -n - 25 / n + 5 / n^3 ] / [ pierwiastek(1 + 5/n^6)] + 1 + 5/n^2 ]
  n->∞
  Wyrażenia typi 1/n, 1/n^2 itp dążą do zera, czyli mianownik dąży do 2,
  a licznik dąży do minus oo
  
  Szukana granica wynosi - oo
  ==================================
  
  lim [(pierwiastek(1-cosx)] / |sinx|
  x->0
  
  Ponieważ licznik i mianownik są funkcjami parzystymi to lewo- i prawo-stronna granica jest taka sama. Możemy więc policzyć jedynie prawostronną granicę, a wtedy możemy pozbyć się znaków |...|.
  
  Postawiamy x = 2y [ aby uniknąć ułamków ] i rozpisujemy wyrażenie na funkcje kąta połówkowego. Do policzenia jest:
  
  lim [ pierwiastek (sin^2 y + cos^2 y - cos^2 y + sin^2 y) ] / [ 2 sin y * cos y ] =
  y->0
  
  = lim pierwiastek(2 sin^2 x) / [ 2 sin y * cos y ] =
  y->0
  
  = lim [ (pierwiastek(2) / 2) * sin x ] / (sin x * cos x) =
  y->0
  
  = pierwiastek(2) / 2 * [ lim 1 / cos x ] = pierwiastek(2) / 2
  ==================================
  
  lim (1-lnx)^1/(1-x)
  x->1
  
  Coś chyba nie tak z zapisem ??? Na pewno jest tam (1 - ln x) ^ 1 ???
  No ale przyjmuję, ze jest tam " ^1" i pozbywam się od razu tej potęgi.
  Czyli mamy
  
  lim [ (1 - ln x) / (1 - x) ]
  x->1
  
  Obustronna granica NIE istnieje ponieważ:
  
  Dla x > 1 (ale bliskich 1) w liczniku jest liczba dodatnia, w mianowniku mała ujemna,
  całe wyrażenie jest ujemne i dąży do 1 / (-0) = -oo
  
  Dla x < 1 (ale bliskich 1) w liczniku jest liczba dodatnia, w mianowniku mała dodatnia,
  całe wyrażenie jest ujemne i dąży do 1 / (+0) = +oo
  
  Jeżeli tam nie ma potęgi ^1 lecz np ^2; ^3 ; itp. to analogiczna argumentacja
  prowadzi do analogicznych wniosków.
  
  Jeżeli w mianowniku jest (1 - x)^2 to niewłaściwa granica istnieje i jest równa +oo.
  ==================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    olczix 6.2.2017 (14:39)

    w tym ostatnim przykłądzie rzeczywiście jest błąd w zapisie :) powinno być :
    lim (1-lnx)^[1/(1-x)]
    x->1