Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.2.2017 (18:38)

  Pozioma linia y = pi/2 NIE DOTYKA wykresu funkcji y = arctg(x)
  w przedziale 0 < x < 1.
  Figura, o którą chodzi, ma więc kształt "prawie trapezu", ograniczonego
  od góry linią y = pi/2
  od dołu linią y = arctg(x)
  z boków pionowymi liniami x = 0 oraz x = 1.
  
  Do policzenia jest więc podwójna całka :
  
  P = całka_od 0 do 1 [ całka_od arctg(x) do pi/2 dy ] dx =
  = [ pi/2 * x - całka arctg(x) dx ] od 0 do 1
  
  Całkę z arctg(x) liczymy przez części pisząc: arctg(x) = 1 * arctg(x).
  Całkujemy "1" ; różniczkujemy arctg(x) ; dostajemy:
  
  całka arctg(x) dx = x * arctg(x) - całka [ x / (1 + x^2) ] dx
  
  W drugiej całce podstawiamy t = 1 + x^2 ; więc x dx = (1/2) dt ; całka wynosi więc:
  
  całka arctg(x) dx = x * arctg(x) - (1/2) ln (1 + x^2)
  
  Podstawiamy wynik do wzoru na pole P i dostajemy:
  
  P = (pi/2 - 0) - [1 * arctg(1) - 0 ] + [(1/2) ln(2) - (1/2) ln(1) ] =
  = pi/2 - pi/4 + ln(2^2)
  
  P = [ pi + ln(4) ] / 4
  ====================================
  

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie