Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.2.2017 (11:50)

  a) f(x)=ln(x+1/x)
  Funkcja jest określona dla x > 0, czyli dziedzina D = (0; +oo)
  
  Gdy x --> 0 argument pod logarytmem dąży do nieskończoności
  więc funkcja ma asymptotę pionową dla x = 0.
  
  Gdy x --> +oo argument logarytmu też dąży do nieskończoności,
  ale może funkcja ma asymptotę ukośną postaci y = ax + b.
  
  Liczymy dla x --> oo granicę: a = lim [ f(x) / x ]
  Licznik i mianownik dążą do nieskończoności, stosujemy regułę de l'Hospitala.
  Pochodna licznika = (1 - 1/x^2) / (x + 1/x) = (x^2 - 1) / (x^3 + x) ---> dąży do zera.
  Pochodna mianownika = 1
  Ta granica wynosi a = 0, liczymy b ze wzoru
  b = lim [ f(x) - ax ] = lim f(x) ; ponieważ a = 0.
  
  Ta granica jest nieskończona więc funkcja nie ma asymptoty ukośniej.
  ========================================
  
  
  
  b) f(x)=ln(e^x - 1)
  Funkcja jest określona tam, gdzie e^x > 1 czyli dziedzina to (0; +oo)
  
  Gdy x --> 0 argument pod logarytmem dąży do 1 - 1 = 0
  czyli funkcja dąży do -oo.
  Funkcja ma asymptotę pionową dla x = 0.
  
  Dla dużych x funkcja zachowuje się jak ln(e^x) = x, więc ma asymptotę ukośną
  Liczymy a, b w równaniu asymptoty y = ax + b
  
  a = lim [ f(x) / x ] ; stosujemy regułę de l'hospitala bo licznik i mianownik --> oo.
  Pochodna licznika = e^2 / (e^x - 1) ---> dąży do 1 dla x --> oo
  Pochodna mianownika = 1
  a = 1 / 1 = 1.
  
  Liczymy b ze wzoru: b = lim [ f(x) - ax ]
  czyli dla x-->oo liczymy lim [ ln(e^x - 1) - x ]
  
  Przekształcamy wyrażenie pod granicą tak:
  ln(e^x - 1) - x = ln [ e^x (1 - 1/e^x) ] - x = ln(e^x) + ln(1 + 1/e^x) - x = ln(1 + 1/e^x)
  Ponieważ 1/e^x --> 0 to
  b = lim [ ln(1 + 1/e^x) ] ---> ln(1) = 0
  
  Funkcja ma asymptotę ukośną y = x
  ========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    olczix 5.2.2017 (12:26)

    i dlaczego w przykładzie b przy ukośnej w pochodnej mamy e^2?

  • 

    olczix 5.2.2017 (12:13)

    a jak wyglądałby ten przykład f(x)= ln[(x+1)/(x)]