Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 26.1.2017 (14:52)

  Jądro:
  Znajdujemy takie punkty z R^3, które przekształcenie L odwzorowuje na punkt (0,0)
  czyli rozwiązujemy układ równań:
  
  x + y = 0
  y + z = 0
  
  Są dwa równania, trzy niewiadome więc możemy jedną ze zmiennych
  (wygodnie będzie "y") przyjąć za parametr. Z tego układu równań wynika, że:
  
  x = - y oraz z = - y
  
  Czyli każdy wektor v należący do jądra Ker L można zapisać jako:
  
  v = (-y, y, -y) = y * (-1, 1, -1)
  
  Z tego zapisu widać, że przestrzeń jądra jest 1-wymiarowa,
  a wektor (-1, 1, -1) jest wektorem bazy przestrzeni jądra.
  (Można też wziąć: (1, -1, 1), będzie mniej minusów, wychodzi na to samo).
  ------------------
  
  Z twierdzenia o wymiarze: Dim (Ker L) + Dim (Im L) = 3 [ czyli = wymiar R^3 ]
  wynika, że obraz przekształcenia L ma DWA wymiary.
  Czyli cała przestrzeń R^2 jest obrazem przekształcenia L.
  
  Faktycznie: Zobaczmy, jak L działa na wektory bazy kartezjańskiej z R^3
  Dostajemy wektory f1, f2, f3, równe:
  
  f1 = L(1,0,0) = (1,0)
  f2 = L(0,1,0) = (1,1)
  f3 = L(0,0,1) = (0,1)
  
  Widać, że f1, f2, f3 są liniowo zależne [ gdyż f2 = f1 + f3 ]
  Natomiast f1 i f2 są niezależne i tworzą bazę obrazu { (1,0), (0,1) }
  w R2 - zresztą przyjemnie kartezjańską.
  =====================================
  
  * Czyli w skrócie: Wyznaczamy jądro i jego bazę i wymiar
  * Z tw. o wymiarach znajdujemy wymiar obrazu - to jest mila wskazówka
  * Przekształcamy wektory bazy R^3 (tej przestrzeni, z której działa L)
  * Dostajemy wektory f_i, jeśli jest ich za dużo, to eliminujemy wektory zależne.
  
  Jak przekształcasz z przestrzeni więcej-wymiarowej na mniej-wymiarową
  to zawsze jądro ma niezerowy wymiar, gdzieś te wymiary trzeba zgubić.
  W drugą stronę to nie jest prawdą, choć może być.
  Przykład:
  L : R^2 --> R^3 takie, że: L(x,y) = (x, 0, 0) ma jądro o wymiarze 1 i obraz o wymiarze 1.
  ======================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie