Treść zadania

strix

Dane są wektory :\vec{a} =(0,1,1),\vec{b} =(2,-3,-1),\vec{c} =(1,-1,-2)
Obliczyć:
1)(\vec{a} x\vec{b} )x\vec{c}
2)|\vec{a} x\vec{b} | \vec{c}
\vec{a} =(5,-3,4),\vec{b} =(2,1,-2),\vec{c} =(1,-1,2)
3)\vec{b} x\vec{c}
4)\vec{c} x(\vec{a} x\vec{b} )

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Rozwiązania

  • antekL1

    1)
    Najpierw policzmy a X b, przyda się też w punkcie (2).
    Pisałem już o "wyznacznikowej" metodzie obliczania iloczynu wektorowego.
    Piszemy w kolumnach współrzędne wektorów a, b, w trzeciej kolumnie i,j,k
    i liczymy wyznacznik:
    0 2 i
    1 -3 j
    1 -1 k ; dostajemy: 2i + 2j - 2k więc a X b = (2, 2, -2)

    Otrzymane a X b ponownie wstawiamy w kolumnę i mnożymy przez c

    2 1 i
    2 -1 j
    -2 -2 k ; dostajemy: - 6i + 2j - 4k więc (a X b) X c = (- 6, 2, - 4)
    ==================

    2)
    Z tw. Pitagorasa liczymy długość | a X b |
    | a X b | = pierwiastek [ 2^2 + 2^2 + (-2)^2 ] = pierwiastek(12) = 2 * pierwiastek(3)
    i mnożymy tą liczbę przez wektor c
    | a X b | * c = 2 * pierwiastek(3) * (1, - 1, - 2)
    ==================

    3)
    Bierzemy nowe współrzędne wektorów b, c, układamy wyznacznik
    2 1 i
    1 -1 j
    -2 2 k ; dostajemy 0i - 6j - 3k ; czyli b X c = ( 0, - 6, - 3)
    ==================

    4)
    Najpierw a X b
    5 2 i
    -3 1 j
    4 -2 k ; dostajemy: 2i + 18j + 11k ; czyli a X b = (2, 18, 11)

    Teraz c razy to, co wyżej
    1 2 i
    -1 18 j
    2 11 k ; dostajemy: - 47i - 7j + 20k ; czyli [c]c X (a X b) = ( - 47, - 7, 20)[/b]
    ==================
    W przypadku iloczynów wektorów typu: p X (q X r) istnieje jeszcze użyteczny sposób
    polegający na wykorzystaniu tożsamości:

    p X (q X r) = q * (pr) - r * (pq)

    gdzie (pr) i (pq) są zwykłymi iloczynami skalarnymi, czyli liczbami.
    Tylko się nie wolno pomylić :)
    W przypadku (4) z tego zadania nazywamy:
    p literką c
    q literką a
    r literką b ; i mamy taką tożsamość:

    c X (a X b) = a * (cb) - b * (ca)

    Liczymy:
    (cb) = 1 * 2 + (-1) * 1 + 2 * (-2) = - 3
    (ca) = 1 * 5 + (-1) * (-3) + 2 * 4 = 16

    i następnie:
    (-3) * (5, - 3, 4) - 16 * (2, 1, - 2) = ( - 47, - 7, 20) ; czyli to samo, co poprzednio
    a chyba jest mniejsza szansa na pomyłkę.

    Ten wzór bierze się stąd, że iloczyn a X b jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej a,b
    Z kolei iloczyn c X (a X b) jest prostopadły do c i prostopadły do a X b
    więc musi leżeć ponownie w płaszczyźnie a,b.
    Zauważ, że wzór pokazuje "weź kawałek wektora a, kawałek wektora b,
    pomnóż przez odpowiednie współczynniki i odejmij".
    ===========================

    W razie pytań pisz proszę na priv.

Podobne zadania

Dariusz29 Dane są zbiory A{-2,7,8,4,5} B{0,2,7,5,3} wykonaj: AuB AnB A/B B/A Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: Dariusz29 12.10.2010 (11:17)
Dariusz29 Dane są zbiory :A=<-7,5) B=( - nieskończoności ,0> zaznacz je na osi Przedmiot: Matematyka / Studia 2 rozwiązania autor: Dariusz29 12.10.2010 (11:27)
andzia2323 dane sa zbiory; B={0,4√9} b) A \ B Znajdz zbiory Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: andzia2323 17.10.2010 (21:05)
emef9 macierze,wektory,całki, pochodne, ekstremum Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: emef9 4.2.2011 (16:21)
emef9 macierze i wektory z góry dzięki Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: emef9 10.2.2011 (15:44)

Podobne materiały

Przydatność 80% Wektory i skalary

1. Wielkości fizyczne. Wielkością fizyczną nazywamy wszystko to, co można zmierzyć. Są to np. długość, objętość, ciężar, czas, prędkość, przyspieszenie. Wielkości fizyczne dzielimy na dwie grupy: - wektory, czyli wielkości posiadające kierunek (np. siła, prędkość itp.) - skalary, czyli wielkości fizyczne nie posiadające kierunku (np. czas, objętość,...

Przydatność 60% Polska - ogółne dane

Polozenie polski na kuli ziemskiej. Polska ma szer pół. a dł wschodnia. Konsekwencje rozciaglosci poludnikowej jest roznica trwania dnia miedzy pół. a poł. Czerwca w Polsce dzien trwa 17h20min w gdyni i jest dluzszy o 1h20min Zakopanem. Konsekwencja rozciaglosci rownoleznikowej jest roznica we wschodzie slonaca, slonce wschodzi wczesniej o 40 min na wsch Polski. Czas letni wedlug...

Przydatność 60% Chorwacja - główne dane

CHORWACJA. PRZEMYSŁ. Główną rolę w gospodarce Chorwacji odgrywa przemysł przetwórczy o zróżnicowanej strukturze gałęziowej; do najważniejszych gałęzi należą: hutnictwo żelaza (Sisak) i aluminium (Lozovac, Razine), przemysł stoczn. (Rijeka, Split, Pula) oraz petrochem. (Sisak, Osijek, Split); duże znaczenie ma przemysł maszyn. (m.in. fabryki: obrabiarek — Zagrzeb, maszyn...

Przydatność 75% Księżyc - ogólne dane

1.Księżyc : To naturalny satelita Ziemi. Otacza ją po swojej orbicie oddalonej od planety o 384400km. Jest piątym co do wielkości Księżycem w Układzie Słonecznym. Średnica Księżyca wynosi trochę więcej niż 1/4 średnicy Ziemi. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest blisko 6 razy słabsze, niż na Ziemi (1,6 n/kg). Cały czas widzimy tylko jedną stronę...

Przydatność 55% Dane fizyczne planet Układu Słonecznego

UKŁAD SŁONECZNY Planety wewnętrzne Merkury Merkury jest planetą krążącą najbliżej Słońca. Ze względu na znaczny mimośród (spłaszczenie) orbity, w peryhelium znajduje się półtorakrotnie bliżej Słońca niż w aphelium. Średnia gęstość Merkurego jest w przybliżeniu równa gęstości Ziemi, przy czym około 80% jego masy przypada na żelazne jądro. Powierzchnię...

0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji