Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.1.2017 (17:16)

  Ze wzorów na objętość stożka: Vs = (1/3) h Ss oraz ostrosłupa: Vo = (1/3) h So
  wynika, że przy jednakowych wysokościach h obu brył stosunek objętości
  ostrosłupa Vo do stożka Vs jest równy stosunkowi ich pól podstaw, So i Ss.
  
  Vo / Vs = So / Ss
  
  Wyrazimy długość boku odpowiednio kwadratu, trójkąta równobocznego i 6-kąta foremnego przez promień okręgu opisanego na danym wielokącie.
  --------------------------------------
  
  a)
  Przekątna kwadratu o boku "a" jest równa a * pierwiastek(2).
  Jednocześnie ta przekątna jest równa średnicy okręgu, czyli:
  
  a * pierwiastek(2) = 2r ; stąd: a = r * pierwiastek(2).
  
  Pole kwadratu: So = a^2 = [ r * pierwiastek(2) ]^2 = 2 r^2
  Pole okręgu: Ss = pi r^2
  
  Stosunek objętości: Vo / Vs = 2 / pi = około 0,64
  --------------------------------------
  
  b)
  Jeśli narysujesz sobie wysokości trójkąta równobocznego to zauważysz, że są to jednocześnie jego środkowe. A środkowe trójkąta dzielą się w stosunku 2 : 1, tak, że promień okręgu opisanego stanowi 2/3 wysokości trójkąta. Z kolei wysokość trójkąta o boku "a" wynosi
  a * pierwiastek(3) / 2
  więc mamy zależność:
  
  r = (2/3) * a * pierwiastek(3) / 2 ; czyli r = (a / 3) * pierwiastek(3)
  
  Pole trójkąta to So = a^2 * pierwiastek(3) / 4
  Pole okręgu to Ss = pi r^2 = pi [ (a / 3) * pierwiastek(3) ] ^2 = pi a^2 / 3
  
  Stosunek objętości:
  Vo / Vs = [pierwiastek(3) / 4 ] / [ pi / 3 ] = 3 * pierwiastek(3) / (4 pi) = około 0,41
  --------------------------------------
  
  c)
  W 6-kącie foremnym bok jest równy promieniowi okręgu opisanego, a = r.
  Pole 6-kąta to 6 razy pole pojedynczego trójkąta równobocznego o boku "a", czyli
  
  So = 6 * a^2 * pierwiastek(3) / 4 = (3 / 2) a^2 * pierwiastek(3)
  Ss = pi r^2
  
  Stosunek objętości:
  Vo / Vs = (3 / 2) * pierwiastek(3) / pi = około 0,83
  ===================================================
  
  Jak widać im "szczelniej" wielokąt wypełnia okrąg tym bardziej Vo / Vs zbliża się do jedynki.
  W ogólności dla N-kąta można wyprowadzić wzór:
  Vo / Vs = [ N / (2 pi) ] * sin(2 pi / N) ; a to wyrażenie dąży do 1 gdy N --> oo

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie