Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.1.2017 (14:07)

  Są różne techniki liczenia iloczynu wektorowego. Jeśli znasz wyznaczniki to dość wygodnie jest napisać współrzędne mnożonych wektorów jako kolejne dwie kolumny,a jako trzecią kolumnę wpisać literki i,j,k.
  Następnie liczymy taki wyznacznik.
  Weźmy dla przykładu iloczyn wektora c = (1; -1; 2) przez wektor a = (0; -3, 2).
  Piszemy tak:
  
  1 0 i
  -1 -3 j
  2 2 k
  
  Obliczenie wyznacznika daje: 4i - 2j - 3k.
  Liczba przy "i" jest pierwszą współrzędną wyniku, przy "j" - drugą, przy "k" - trzecią.
  Czyli
  
  c X a = (4; -2; -3). Długość | c X a | liczymy z tw. Pitagorasa:
  
  | c X a | = pierwiastek [ 4^2 + (-2)^2 + (-3)^2 ] = pierwiastek(29)
  ========================
  
  Inny sposób to bezpośrednie policzenie. Piszemy mnożone wektory jako:
  v = ( x1; y1; z1 ) oraz u = ( x2; y2; z2 ).
  Wtedy współrzędne x, y, z iloczynu v X u wyrażają się wzorami (dla przykładu masz c X a)
  
  x = y1 * z2 - x2 * z1 = (-1) * 2 - 2 * (-3) = 4
  y = x2 * z1 - x1 * z2 = 0 * 2 - 1 * 2 = -2
  z = x1 * y2 - x2 * y1 = 1 * (-3) - (-1) * 0 = -3
  
  Wbrew pozorom te wzory łatwo zapamiętać, bo zauważ, że we współrzędnej "x" jest tylko y, z,
  tak samo we wsp. "y" jest x i z, oraz we wsp. "z" jest x, y.
  Przy współrzędnych x i z najpierw z plusem jest współrzędna pierwszego wektora
  (czyli y1 * z2 oraz z1 * y2) , a tylko przy współrzędnej y jest odwrotnie).
  
  Pomóc może wypisanie liczb: +123.
  Każda permutacja kolejnych cyfr zmienia znak tego ciągu cyfr na odwrotny, czyli, gdy wymienimy 2 i 3 to mamy -132. Wszystkie 6 permutacji ma takie znaki:
  
  + 123 - 132 ---> to mówi, że liczymy pierwszą współrzędną z użyciem drugiej i trzeciej
  - 213 + 231 ---> takie znaki, gdy liczymy drugą współrzędną z użyciem pierwszej i trzeciej
  + 312 - 321 ---> tak liczymy trzecią z użyciem pierwszej i drugiej.
  ============================
  
  W drugim zadaniu jest iloczyn skalarny a * c który liczymy już po prostu:
  
  a * c = a1 * c1 + a2 * c2 + a3 * c3 = 0 * 1 + (-3) * (-1) + 2 * 2 = 7 [ wychodzi LICZBA ]
  
  Następnie mnożymy liczbę 7 przez wektor b, czyli:
  
  (a * c) b = 7b = (14; 7; -14)
  ============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie