Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.1.2017 (13:21)

  Pierwsze zadanie - przecież miał to być poziom "studia". Żartujesz, prawda?
  Drugie zadanie - jakoś mi się wydaje, że 4x*4 - 1/3x*3 - x*2 jest całe w mianowniku ?
  Czyli: f(x) = 1 / (4x*4 - 1/3x*3 - x*2) NAWIASY! O to chodzi ?
  Zamieść proszę zadanie raz jeszcze wyraźnie pisząc, co jest w mianowniku.
  ===========================================
  
  Trzecie zadanie: wyznacz ekstrema funkcji f(x) = x+ 1/x
  
  Dziedziną funkcji jesr R \ { 0 } <---- wykluczamy punkt x=0.
  Liczymy pochodną:
  f ' (x) = 1 - 1 / x^2 [ jako znaku potęgowania używam ^ , bo gwiazdka myli się z mnożeniem ]
  Pochodna ma być zerem więc:
  1 - 1 / x^2 = 0 ; stąd:
  x^2 - 1 = 0 ; Wykres takiej funkcji: y = x^2 - 1 to parabola w kształcie "U".
  Rozwiązaniem równania x^2 - 1 = 0 są dwa punkty:
  x1 = -1
  x2 = 1
  Sprawdzamy znak pochodnej.
  Gdy x < -1 lub x > 1 to x^2 - 1 jest dodatnie i funkcja jest rosnąca.
  Gdy x należy do (-1; 1) \ {0} to x^2 - 1 jest ujemne i funkcja jest malejąca.
  Więc:
  Gdy x przechodzi z lewej na prawą stronę punktu x = -1 to pochodna zmienia znak z plusa na minus. Czyli f(x) rośnie po lewej stronie punktu x = -1, a potem maleje.
  Wniosek: W punkcie x = - 1 jest maksimum lokalne
  W punkcie x = 1 jest odwrotnie. W punkcie x = 1 jest minimum lokalne
  ===========================================
  
  Czwarte zadanie: zbadaj wypukłość funkcji f(x)= x(x-1)(x-3)
  
  To jest "sześcienna" funkcja, ma 3 miejsca zerowe, więc jej wykres to takie / \ /
  Ma maksimum i minimum, pewnie ma punkty przegięcia. Trzeba zbadać drugą pochodną.
  Wymnożę te nawiasy, będzie łatwiej liczyć pochodne.
  f(x) = x^3 - 4x^2+ 3x
  Pierwsza pochodna: f ' (x) = 3x^2 - 8x + 3
  Druga pochodna: f ' ' (x) = 6x - 8
  Druga pochodna jest ujemna dla x < 8/6, dodatnia dla x > 8/6.
  NAPRAWDĘ NIE WIEM kiedy nazwać funkcję "wypukłą", kiedy "wklęsłą"
  - w sieci są dwie sprzeczne definicje. Użyj określenia podanego na wykładach.
  W każdym razie w punkcie x = 8/6 (punkt przegięcia) druga pochodna zmienia znak,
  wypukłość i wklęsłość zmieniają się miejscami.
  Dla x należy do (- oo; 8 / 6) funkcja jest wypukła ? wklęsła ?
  Dla x należy do (8 / 6 ; +oo) funkcja jest - odwrotnie niż poprzednio.
  
  ===========================================
  
  Piąte zadanie: oblicz całkę nieoznaczoną f(x*3 + 1/x)dx.
  
  To pewnie miało być: f(x) = x*3 + 1/x
  Na wykładzie pewnie był wzór na całkowanie x^n oraz 1/x.
  Całka x^n = 1 / (n + 1) x^(n+1) ; zawsze z wyjątkiem n = -1.
  Wtedy całka 1 / x = ln x.
  Dlatego:
  Całka (x^3 + 1 / x) dx = (1/4) x^4 + ln(x) + C
  ===========================================
  
  Ostatnie zadanie razem z drugim zamieść proszę oddzielnie, bo to za dużo na raz.
  W razie pytań, albo jeśli się pomyliłem pisz proszę do mnie na priv.
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie