Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 24.11.2016 (22:52)

  Zadanie z asymptotami.
  
  a)
  Jak już pisałem poprzednio w liczniku jest x^3, w mianowniku x^2
  więc dla bardzo dużych lub dla bardzo małych "x" funkcja zachowuje się jak "x".
  
  Formalnie jest to tak: Asymptota ukośna ma wzór; y = ax + b ; gdzie:
  
  a = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3}{x(x^2-1)}= \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1-1/x^3} = 1
  
  gdzie podzieliłem f(x) przez x, potem licznik i mianownik podzieliłem przez x^3.
  Zauważ, że wyraz: 1/x^3 zeruje się dla x --> +oo oraz dla x --> -oo,
  więc współczynnik "a" jest jedynką dla obu nieskończoności.
  
  Współczynnik "b" asymptoty ukośnej liczymy ze wzoru:
  
  a = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[\frac{x^3}{x^2-1} - 1\cdot x\right ]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3-x^3+1}{x^2-1}=0
  
  gdzie sprowadziłem wyrażenie do wspólnego mianownika, skróciłem x^3,
  i całość dąży do zera dla obu nieskończoności. b = 0.
  
  Wniosek: f(x) ma JEDYNĄ asymptotę ukośną o wzorze y = x
  
  Funkcja ma też dwie asymptoty PIONOWE dla x = 1 oraz x = -1
  tam, gdzie mianownik się zeruje.
  Asymptot poziomych nie ma.
  =====================================
  
  b)
  klllllllllllllllllllllllllllllllllkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
  (to napisał mój kot, łażąc po klawiaturze - zostawiam, bo może mądrze to napisał)
  Do rzeczy wracamy:
  Licznik x^3 ma mniejszą potęgę x niż mianownik (x^4, jak wymnożysz ten kwadrat)
  Wobec tego granica f(x) jest zerem w obu oo.
  Mamy asymptotę poziomą y = 0
  mamy też dwie asymptoty pionowe, gdy mianownik się zeruje:
  x^2 - 4 = 0 więc:
  asymptota pionowa x = 2 oraz x = - 2
  =====================================
  
  c)
  Zobaczmy, czy mianownik się zeruje. Rozwiązujemy takie równanie:
  x^2 + x - 6 = 0
  delta = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 25; pierwiastek(delta) = 5
  Rozwiązania: x1 = -3; x2 = 2
  Mamy DWIE asymptoty pionowe: x1 = -3; x2 = 2
  Asymptota pozioma też jest: Podziel licznik i mianownik przez x^2.
  Granicą w obu oo jest 1, więc: y = 1 to asymptota pozioma.
  =====================================
  
  d)
  Asymptotą pionową jest x = 0 (z powodu zera w mianowniku)
  Będą DWIE asymptoty poziome. Podziel przez "x" licznik i mianownik ale:
  UWAGA!
  W liczniku będzie pierwiastek(1/x^2 + 1) - zawsze dodatnie.
  W mianowniku będzie liczba DODATNIA LUB UJEMNA
  Dla x --> -oo jest dodatni mianownik i ujemny licznik.
  Mamy asymptotę poziomą y = - 1
  Dla x --> +oo jest dodatni mianownik i dodatni licznik.
  Mamy asymptotę poziomą y = + 1 (czyli 2 asymptoty poziome, jedna pionowa)
  =====================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie