Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 22.11.2016 (08:57)

  Trzeba zbadać drugie pochodne podanych funkcji. Tylko UWAGA: podobnie jak zerowanie się pierwszej pochodnej jeszcze NIE oznacza ekstremum (bo aby było ekstremum to pochodna musi zmienić znak przy przejściu przez ten krytyczny punkt), to tak samo druga pochodna MUSI zmienić znak, aby był to punkt przegięcia. Piszę to "on line" więc nie wiem, jak zachowają się te Twoje funkcje, mam nadzieję, że to wyjdzie w przykładach i nie trzeba będzie liczyć dalej :)
  =============================
  
  a)
  
  Dziedzina funkcji: D = R+ (dodatnie rzeczywiste, ze względu na logarytm)
  
  Pierwsza pochodna:
  
  (x^2+2\ln x+5)' = 2x + \frac{2}{x}
  
  Druga pochodna:
  
  \left( 2x + \frac{2}{x}\right )' = 2 - \frac{2}{x^2} = 2\,\frac{x^2-1}{x^2}
  
  No, na szczęście ładnie wyszło. Mianownik jest zawsze dodatni.
  Licznik ma dwa miejsca zerowe: x = -1 (ale to POZA DZIEDZINĄ funkcji)
  oraz x = 1.
  W tym punkcie x = 1 druga pochodna się zeruje i zmienia znak w jego otoczeniu
  więc x = 1 jest JEDYNYM punktem przegięcia podanej funkcji.
  
  Znak drugiej pochodnej:
  
  f '' (x) < 0 dla x < 1
  f '' (x) > 0 dla x > 1
  
  
  Wybacz, podaję tylko znaki drugiej pochodnej, bo są dwa PRZECIWSTAWNE sobie określenia, kiedy funkcja jest wypukła, kiedy wklęsła. Nazwij to tak, jak było na wykładzie.
  =============================
  
  b)
  Dziedzina: x <= 1 czyli x należy do (-oo; 1 >
  
  Pierwsza pochodna:
  
  \left(\sqrt{1-x} \,\,\right )'= \left[(1-x)^{1/2} \right ]' = -\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}
  
  (specjalnie napisałem pierwiastek jako potęgę "1/2"; ze wzoru na pochodną x^n znajdziesz powód znaku minus i 2 w mianowniku.)
  
  Liczymy drugą pochodną, też stosując wzór na pochodną x^n
  
  f''(x) = -\frac{1}{4}\,(1-x)^{-3/2} = -\frac{1}{4}\,\frac{1}{\sqrt{(1-x)^3}}
  
  Teraz zobacz: W dziedzinie funkcji czyli dla x < 1 mianownik jest dodatni.
  Cała druga pochodna, z powodu znaku minus przed 1/4 jest:
  
  f '' (x) < 0 dla x < 1
  f '' (x) > 0 nigdy
  
  Nie ma punktów przegięcia, a o wypukłości już pisałem :)
  =============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie