Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 22.11.2016 (06:53)

  Masz część zadań, proszę, zamieść pozostałe oddzielnie. Po pierwsze: za dużo na raz, do drugie - nie jestem pewny czy rozumiem Twój zapis, np:
  
  1a) "pierwiastek z x-x^2"
  Brak NAWIASÓW. Prawdopodobnie miało być całe "x - x^2" pod pierwiastkiem, czyli:
  pierwiastek (x - x^2 ), ale kto wie ??
  Albo "nawiasuj" dokładnie, albo użyj LaTeX'a, albo dołącz fotkę zadania, PLEASE! :))
  =============================
  
  Zadanie 1b)
  Dziedzina funkcji:
  x > 0 ze względu na ln(x) oraz x różne od 1 aby uniknąć zera w mianowniku.
  Dziedzina D = (0; 1) U (1; +oo)
  
  Liczymy pochodną jako pochodną ilorazu:
  
  f'(x)=\left(\frac{x}{\ln x} \right )'=\frac{x'\,\ln x - x\,(\ln x)'}{(\ln x)^2}=\frac{\ln x - x\frac{1}{x}}{(\ln x)^2} =\frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}
  
  Pochodna jest równa zero gdy ln x = 1 czyli możliwe ekstremum to x = e
  (e - podstawa log naturalnych, e = 2,7...)
  
  Ale moment! Nie wiemy, czy to na pewno ekstremum, czy punkt przegięcia f(x).
  Badamy monotoniczność:
  
  Mianownik jest zawsze dodatni (w dziedzinie funkcji) bo to kwadrat.
  Licznik ln x - 1 < 0 dla x < e oraz > 0 dla x > e.
  Pochodna zmienia znak z - na + więc jest minimum w punkcie x = e
  
  Funkcja jest malejąca dla x należy do (0; 1) U (1; e)
  Funkcja jest rosnąca dla x należy do (e; +oo)
  =============================
  
  Jak już mamy zanalizowane x / ln x to weźmy zadanie 3.
  
  Zadanie 3b) i 3c)
  Najpierw 3c). Licznik i mianownik f(x) --> oo, są różniczkowalne dla x --> 0.
  Spełnione są więc warunki aby stosować regułę de l'Hospitala.
  Różniczkujemy OSOBNO licznik i mianownik i liczymy granicę:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{\ln x} =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x'}{(\ln x)'}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty
  --------------------
  
  Granica funkcji ln(x) / x jest odwrotnością poprzedniej czyli zero.
  --------------------
  
  Zadanie 3a)
  Granica OBUSTRONNA nie istnieje
  Z prawej strony:
  Kotangens --> +oo gdy x --> +0 więc mamy (1/2) ^ (+oo), to dąży do zera.
  Z lewej strony:
  Kotangens --> -oo gdy x --> -0 więc mamy (1/2) ^ (-oo) = 2 ^ oo --> oo
  =============================
  
  W razie pytań pisz na priv.
  I proszę zamieść osobno zadanie 2 i ewentualnie (3a) jeśli za krótko napisałem.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie