Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 20.11.2016 (09:09)

  Podziel proszę pozostałe zadania na części, za dużo jest ich na raz.
  Werner rozwiązał 3, 4, 7.
  Poniżej masz 1 i 10
  --------------------------------
  
  1.
  Nie ma metody - trzeba próbować. Być może jedną z tych liczb jest 5.
  Pozostałych dwóch szukamy metodą "prób i błędów". Mnie wyszło:
  
  2 * 5 * 7 = 70 = 5 * (2 + 5 + 7)
  
  Może jakąś wskazówką jest podstawienie 5 za jedną z liczb. Mamy równanie:
  5 a b = 5 (a + b + 5) ; stąd:
  a b = a + b + 5 ; czyli
  a (b - 1) = b + 5 ; więc:
  a = (b + 5) / (b - 1) ; próbujemy podstawić b = 2, dostajemy a = 7.
  Ale zaznaczam - to są "próby i błędy", założyłem, że zadanie jest łatwe. :)
  ====================
  
  10.
  Zwróć uwagę na takie wyrażenie:
  Jeśli liczba x da się zapisać jako: x = 21a + b
  oraz liczba y da się zapisać jako: y = 21c + d
  to iloczyn x * y wynosi:
  x y = (21a + b)(21c + d) = 21^2 ac + 21bc + 21ad + bd =
  = 21(21ac + bc + ad) + bd ; czyli znowu w formie: 21A + B
  gdzie A = 21ac + bc +ad oraz B = bd.
  
  Innymi słowami:
  Jeśli liczba x daje z dzielenia przez 21 resztę b, liczba y daje z tego dzielenia resztę d,
  to iloczyn xy da resztę b*d (być może z tej reszty jeszcze da się wydzielić
  kawałek zawierający 21).
  
  Zastosujmy to w zadaniu. Liczbę 1111 da się przedstawić jako:
  
  1111 = 53 * 21 - 2 ; możesz sprawdzić na kalkulatorze :)
  
  Aby nie ciągnąć liczby 53 zapiszmy tak: 1111 = 21a - 2
  
  W tym zapisie 1111^2 da się zapisać jako:
  (21a - 2)^2 = 21^2 a^2 - 4*21 a + 4 = 21 b + 4 ; gdzie b = 21a^2 - 4a
  
  Wobec tego 1111^2 da z dzielenia przez 21 resztę 4. Sprawdźmy:
  1111^2 = 1234321 = 58777 * 21 + 4
  
  Czyli 1111^2 = 21B + 4
  Mnożenie (21B + 4) * (21B + 4) daje 21C + 16 czyli 1111^4 da resztę 16.
  Kolejne mnożenie (21C + 16)(21B + 4) = 21D + 64,
  czyli 1111^6 da się zapisać jako 21D + 64
  
  Teraz uwaga! 64 = 3 * 21 + 1, więc: 1111^6 = 21(D+ 3) + 1 = 21E + 1
  i daje z dzielenia przez 21 resztę 1.
  
  Także 1111^12 da z dzielenia przez 21 resztę 1, bo 1111^12 = 1111^6 * 1111^6.
  Podobnie resztę 1 da 1111^18; 1111^24 itd, w ogólności resztę 1 dają liczby postaci:
  1111^(6n)
  
  No to teraz przedstawmy liczbę 4444 w takiej postaci: 4444 = 6 * 740 + 4.
  Z poprzednich obliczeń wiemy, że 1111^4440 daje resztę 1.
  
  Ponieważ
  1111^4444 = 1111^4440 * 1111^4
  
  to szukana reszta z dzielenia jest taka sama jak reszta z dzielenia 1111^4 przez 21,
  a to ustaliliśmy już że wynosi 16.
  
  Odpowiedzią do zadania jest więc szukana reszta wynosi 16
  ====================
  W skrócie:
  1111^2 daje resztę 4, 1111^4 daje resztę 4*4=16,
  1111^6 daje resztę 4*16 = 64, ale 64 = 3*21 + 1 więc reszta wyniesie 1.
  KAŻDA potęga podzielna przez 6 da resztę 1.
  Przedstawiamy 4444 jako 740 * 6 + 4.
  1111^4444 = 1111^4440 * 1111^4
  Dlatego szukana reszta jest taka sama jak reszta z dzielenia 1111^4
  czyli 16.
  ====================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie