Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.11.2016 (09:11)

  Zadanie 5.
  Spróbuj narysować sobie ten graniastosłup, albo uwierz mi, że rzutem dłuższej jego przekątnej na podstawę jest dłuższa przekątna podstawy i te dwie linie razem z bokiem graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny.
  Kosinus szukanego kąta "alfa" to stosunek długości przekątnej podstawy do przekątnej graniastosłupa. Przekątna podstawy o której mówimy łączy prostopadłe boki o długości "a", czyli ma długość:
  a * pierwiastek(2).
  Wobec tego:
  
  cos(alfa) = [ a * pierwiastek(2) ] / [ 2a ] = pierwiastek(2) / 2
  
  Odpowiada to katowi: alfa = 45 stopni
  ==========================================
  
  Zadanie 6.
  Szukane kąty znajdziemy jeśli poznamy wymiary podstawy.
  Fakt, że przekątne ścian bocznych są równe oznacza, że podstawa jest trójkątem równoramiennym, ale prostopadłość przekątnych NIE oznacza, że podstawa jest trójkątem prostokątnym. Wiemy natomiast, że przekątne i bok podstawy tworzą trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych.
  
  Jeden z boków podstawy ma więc długość:
  b = pierwiastek(3) * pierwiastek(2) = pierwiastek(6)
  
  Każdy z dwóch równych boków podstawy, wysokość graniastosłupa i przekątna
  tworzą trójkąt prostokątny (przekątna jest przeciwprostokątną).
  Długość "a" boku podstawy spełnia więc równanie:
  
  a^2 + 1^2 = [ pierwiastek(3) ]^2 ; stąd a^2 = 3 - 1 = 2 ; czyli a = pierwiastek(2)
  
  Podstawa ma wymiary: pierwiastek(2), pierwiastek(2), pierwiastek(6)
  
  Niech kat alfa będzie kątem między równymi bokami podstawy. Wtedy:
  
  sin(alfa/2) = [ pierwiastek(6) / 2 ] / pierwiastek(2) = pierwiastek(3) / 2
  
  Daje to alfa/2 = 60 stopni czyli alfa = 120 stopni
  Pozostałe dwa kąty mają po beta = 30 stopni.
  ==========================================
  
  Zadanie 7.
  a)
  Szukane kąty to katy między bokami podstawy.
  Dorysuj wysokości tego trapezu opuszczone na bok o długości 3.
  Odcinają one z trapezu dwa trójkąty prostokątne.
  Jeden z boków takiego trójkąta (ten leżący na boku 3 trapezu) ma długość
  (3 - 1) / 2 = 1
  Przeciwprostokątna ma długość pierwiastek(2) więc:
  Kąty ostre trapezu alfa spełniają warunek:
  
  sin(alfa) = 1 / pierwiastek(2) ; czyli alfa = 45 stopni
  Kąty rozwarte to beta = 135 stopni
  bo w trapezie równoramiennym alfa + beta = 180.
  ---------------------------
  
  b)
  Przekątna graniastosłupa rzucona na podstawę tworzy przekątną podstawy.
  Ta przekątna, przekątna graniastosłupa i jego wysokość tworzą trójkąt prostokątny.
  Oznaczmy przez "d" długość przekątnej podstawy. Wtedy szukany kąt gamma spełnia warunek:
  
  tg(gamma) = pierwiastek(15) / d.
  
  Musimy znaleźć "d". Popatrz na podpunkt (a).
  Kąt alfa = 45 stopni więc wysokość trapezu = 1.
  Ta wysokość, odcinek o długości 2 i przekątna trapezu tworzą trójkąt prostokątny więc:
  
  d^2 = 1^2 + 2^2 = 5 czyli d = pierwiastek(5). Wobec tego:
  
  tg(gamma) = pierwiastek(15) / pierwiastek(5) = pierwiastek(3)
  
  Stąd wniosek że gamma = 60 stopni
  ==========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie