Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 22.10.2016 (22:11)

  Zadanie "oblicz nierówność" (bez numeru)
  
  Narysuj proszę sobie wykres sin(3x)
  i poziomą linię y = pierwiastek(2) / 2 [ to się równa około 0,7 ].
  Zauważ, że wierzchołki sinusoidy wystają ponad tę linię. Zobaczymy, gdzie.
  Rozwiązujemy równanie:
  
  sin(3x) = pierwiastek(2) / 2
  Prawa strona odpowiada sinusowi dwu możliwych kątów: pi/4 oraz (3/4) pi.
  Mamy więc dwa rozwiązania:
  
  a) 3x = pi/4 + 2k pi ; gdzie k - liczba całkowita; stąd:
  x1 = pi/12 + (2k/3) pi
  b) 3x = (3/4) pi + 2k pi ; gdzie k - liczba całkowita; stąd:
  x2 = pi/4 + (2k/3) pi
  
  Nierówność jest spełniona pomiędzy x1 i x2 czyli
  x należy do (pi/12 + (2k/3) pi ; pi/4 + (2k/3) pi) dla k - liczba całkowita/
  ===========================
  
  Zadanie 2 punkt 1
  [ czytaj proszę oznaczenie ^2 jako "do kwadratu" ]
  Po prawej stronie wyciągamy przed nawias 2 cos^2 x i mamy równanie:
  1 - sin x = 2 cos^2 x (1 - sin x) ; stąd po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę:
  
  (1 - 2 cos^2 x) (1 - sin x ) = 0
  
  Albo drugi nawias jest równy 0, czyli 1 = sin x, co daje x1 = pi / 2
  albo pierwszy nawias = 0 co daje cos^2 x = 1/2 czyli
  albo cos x = pierwiastek(2) / 2 ; co daje x2 = pi / 4; x3 = (7/4) pi
  albo cos x = - pierwiastek(2) / 2 ; co daje x4 = (3/4) pi; x5 = (5/4) pi
  Jest pięć rozwiązań równania z tego zadania.
  ===========================
  
  Zadanie 2 punkt 2
  Podnosimy obie strony równania do kwadratu. Może to wprowadzić dodatkowe rozwiązania, tak, że trzeba potem sprawdzić otrzymane wyniki.
  
  (sin x - cos x)^2 = 1 ; wymnażamy nawias
  sin^2 - 2 sin x * cos x + cos^2 x = 1 ; używamy "jedynki trygonometrycznej"
  1 - 2 sin x * cos x = 1 ; stąd:
  2 sin x * cos x = 0 ; stąd:
  a) Albo sin x = 0 co daje x1 = 0; x2 = pi; x3 = 2pi
  b) albo cos x = 0 co daje x4 = pi/2; x5 = (3/2) pi
  
  Jak pisałem wyżej podnoszenie do kwadratu może wprowadzić dodatkowe, błędne rozwiązania, więc sprawdzamy wszystkie otrzymane punkty.
  x1 = 0 ; sin 0 - cos 0 = 0 - 1 = -1. Błędne rozwiązanie
  x2 = pi ; sin pi - cos pi = 0 - (-1) = 1. Poprawne.
  x3 = 2pi ; sin 2pi - cos 2pi = 0 - 1 = -1. Błędne rozwiązanie
  x4 = pi/2 ; sin pi/2 - cos pi/2 = 1 - 0 = 1. Poprawne.
  x5 = (3/2) pi ; sin (3/2) pi - cos (3/2) pi = -1 - 0 = -1. Błędne rozwiązanie
  
  W rezultacie istnieją dwa rozwiązania: x2 = pi; x4 = pi / 2.
  ===========================
  
  Zadanie 2 punkt 3
  Proszę zamieść to zadanie oddzielnie.
  To JEST rozwiązywalne na poziomie liceum, ale wymaga sporo obliczeń, a ten tekst staje się za długi.
  ===========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie