Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 24.9.2016 (11:20)

  Drzewko masz w załączniku. Spróbuję objaśnić "co jest czym".
  Kolory linii odpowiadają kolorom losowanych kul. Zaczynamy od dużej kropy na górze i losujemy pierwszą kulę. Żółta linia do punktu A to losowanie kuli żółtej. Ponieważ jest 5 żółtych we wszystkich 5+4+1=10 kulach to szansa na wylosowanie żółtej wynosi 5/10.
  Podobnie szansa na kulę niebieską (linia do punktu B) to 4/10, a szansa na czerwoną (linia do punktu C) to 1/10.
  Te wartości: 5/10; 4/10; 1/10 piszemy obok linii, jak na rysunku.
  ----------------
  
  Robimy drugie losowanie. Zacznijmy od punktu A.
  W pudełku jest teraz 9 kul, w tym 4 żółte (bo jedna żółta już była wyciągnięta), 4 niebieskie, 1 czerwona. Odpowiednie prawdopodobieństwa (4/9; 4/9; 1/9) napisałem przy kreskach.
  
  W punkcie B jest podobnie, tylko mamy 3 niebieskie kule, stąd 3/9 przy niebieskiej kresce. Natomiast żółtych jest nadal 5, stąd 5/9, i jedna czerwona, stąd 1/9.
  
  W punkcie C: już została zabrana jedyna czerwona kula więc losujemy żółte i niebieskie.
  ---------------
  
  Liczymy prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów. Wygodniej będzie liczyć szanse na kule TEGO SAMEGO koloru, bo mogą być to tylko dwie żółte lub dwie niebieskie, bo NIE ma dwóch czerwonych.
  Te przypadki oznaczyłem na rysunku czerwonym "X".
  
  Weźmy żółte kreski od góry do A i do X. MNOŻYMY obie liczby: 5/10 i 4/9.
  Podobnie niebieskie kreski od góry do B i do X. Mnożymy 4/10 i 3/9.
  Sumujemy te iloczyny:
  p(Z ' ) = (5/10) * (4/9) + (4/10) * (3/9) = 32 / 90 = 16 / 45.
  
  Przez zdarzenie Z ' (prim!) oznaczyłem zdarzenie przeciwne do oczekiwanego, tzn. kule tego samego koloru. Wobec tego szansa na szukane zdarzenie Z wynosi:
  
  p(Z) = 1 - p(Z ' ) = 1 - 16/45 = 29 / 45 <--- odpowiedź do zadania.
  =============================
  
  PS:
  Możesz oczywiście policzyć inaczej, mnożąc 5/10 z górnej, żółtej kreski, przez sumę niebieskiej i czerwonej kreski z punktu A, potem dodać 4/10 z górnej, niebieskiej kreski mnożonej przez sumę żółtej i czerwonej z punktu B i dodać 1/10 z punktu C, bo jak się wylosuje jedyną czerwoną to druga MUSI być innego koloru.
  Ale przyznasz, że to "upierdliwa" operacja" :)
  ------------------
  
  W języku prawdopodobieństwa warunkowego, jeśli oznaczymy:
  Ż1, N1, C1 - losowanie kuli danego koloru w pierwszym losowaniu, oraz
  Ż2, N2, C2 - to samo w drugim losowaniu
  to szansa na zdarzenie Z ' (obie kule tego samego koloru) dana jest wzorem:
  
  p(Z ' ) = p(Ż1) p(Ż2 | Ż1) + p(N1) p(N2 | N1) + p(C1) p(C2 | C1)
  
  gdzie Ż2 | Ż1 to "losowanie drugiej żółtej POD WARUNKIEM pierwszej żółtej" itd.
  W szczególności p(C2 | C1) = 0, wiesz, dlaczego :)
  Dlatego mnożymy szanse z górnych gałęzi drzewka przez dolne i sumujemy.
  A potem: p(Z) = 1 - p(Z ' )
  =================================
  
  Nie pomyl proszę Z i Ż i zwróć uwagę na znaczki ' (prim), starałem się je umieszczać wyraźnie. W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • drzewko.pdf (46 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie