Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 13.9.2016 (15:16)

  Zadanie 1.
  Teoria: Dzielimy krzywą na bardzo małe kawałki, przypominające odcinki prostej.
  Wtedy długość ds takiego małego odcinka o rozpiętości dx w poziomie i dy w pionie liczymy po prostu z tw. Pitagorasa:
  
  ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx
  
  Pod pierwiastkiem jest kwadrat pochodnej dy/dx.
  Następnie całkujemy cały pierwiastek po x w podanych granicach, tutaj: od -1 do 1.
  ------------------
  
  Najpierw liczymy pochodną podanej funkcji po x. Dostajemy:
  [ tablice pochodnych znajdziesz w sieci, pochodna z pierwiastka jest prosta, a pochodna arcsin to tak jak napisałem niżej:
  
  \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}
  
  Podnosimy to do kwadratu, upraszczamy 1-x, wychodzi po prostu (1 - x) / (1 + x)
  Dodajemy jedynkę, mamy po uproszczeniach: 2 / (1 + x)
  Mamy więc do policzenia taką całkę:
  
  s = \int\limits_{-1}^1\sqrt{\frac{2}{1+x}}\,dx
  
  To nic tragicznego, bo podstawiasz t = 1 + x, wtedy dx = dt
  i całka przechodzi na prostą całkę z t^(-1/2). Po powrocie do zmiennej "x" mamy:
  
  s = \int\limits_{-1}^1\sqrt{\frac{2}{1+x}}\,dx = \left | \,2\sqrt{2}\sqrt{1+x} \,\right |_{-1}^1 = 4
  
  =============================
  
  Rozumiesz, dlaczego proszę o JEDNO zadanie w jednym zgłoszeniu?
  Jakbym jeszcze pisał pośrednie obliczenia to rozwiązanie byłoby dwa razy dłuższe.
  Sprawdzam obliczenia programem, ale akurat na tej całce program się wysypał, bo się uparł, że wynikiem jest :
  coś / [ coś / ( x + 1) ]
  - nie przeniósł tego x + 1 do licznika i pokazywał zero w mianowniku.
  Tu już musiałem ręcznie programowi pomagać.
  "Sztuczna inteligencja" też nie jest doskonała :))
  
  Jeśli mieszkasz w Warszawie to napisz na priv - mieszkam na Ursynowie.
  Poza tym - to już prywata - szukam opieki dla moich zwierząt przez kilka dni
  w październiku, bo chcemy z moją Ewą wyjechać na kilka dni.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie