Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 12.9.2016 (14:25)

  [ Czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi", np. 2^3 = 8. Aby było szybciej używam programu do symbolicznych obliczeń, wybacz, że nie piszę wszystkich przekształceń ]
  
  Zadanie 1.
  Rozkładamy całkę na ułamki proste.
  Mianownik to: x (x^2 + 4) więc próbujemy takiej sumy ułamków:
  
  A / x + (B x + C) / (x^2 + 4)
  
  Jak się to sprowadzi do wspólnego mianownika to w liczniku mamy:
  
  (A + B) x^2 + Cx + 4A ; porównujemy z x^2 + 2x + 3. Dostajemy:
  A + B = 1
  C = 2
  4A = 3 ; co daje rozwiązanie: A = 3/4; B = 1/4; C = 2
  czyli wyrażenie podcałkowe to:
  
  (3/4) (1/x) + (x/4) / (x^2 + 4) + 2 / (x^2 + 4)
  
  Pierwszy składnik po scałkowaniu daje (3/4) ln x .
  
  Drugi składnik: podstawiamy y = x^2 + 4 ; wtedy 2x dx = dy
  i sprowadzamy całkę do całki (1/y) dy. Dostajemy (1/8) ln (x^2 + 4)
  
  Trzeci składnik: Wyciągamy 4 przed nawias,
  mamy (1/4) * 1 / [ (x/2)^2 + 1 ]. Podstawienie y = x/2 sprowadza całkę
  do całki z 1 / (y^2 + 1) co jest równe "arctg(y)".
  Daje to wynik arctg(x/2).
  
  Suma tych trzech części jest wynikiem zadania. Sprawdziłem - zgadza się :)
  =========================
  
  Zadanie 2.
  f(x) zapiszmy jako: f(x) = x (x^2 - 4) = x (x + 2)(x - 2).
  Miejscami zerowymi są -2, 0, +2.
  Na odcinku od -2 do 0 wykres przebiega NAD osią X
  Na odcinku od 0 do +2 wykres przebiega POD osią X
  Wydaje mi się, że trzeba zsumować oba pola, ale pole na odcinku od 0 do 2 trzeba wziąć ze znakiem plus, bo całka wyjdzie ujemna. Liczymy więc dwie całki:
  
  całka nieoznaczona z f(x) = (1/4) x^4 - 2x^2
  
  całka od -2 do 0 z funkcji f(x) daje 4
  całka od 0 do 2 z funkcji f(x) daje minus 4, ale pomijamy znak.
  Szukane pole to: 4 + 4 = 8
  =========================
  
  Proszę, zamieść pozostałe zadania oddzielnie, po jednym, bo to kupa obliczeń i lepiej napisać je w LaTeX'u. Załącznik ten sam, tylko napisz numer zadania.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie