Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.9.2016 (20:35)

  Zadanie 16
  a)
  Warunki zadania spełnia suma zdarzeń A u B gdzie:
  A - wyciągniemy marcepana za pierwszym razem
  B - wyciągniemy nie-marcepana za pierwszym razem, marcepana za drugim.
  Zdarzenia te wykluczają się więc:
  
  p(A \cup B)= p(A)+p(B)
  
  Szansa na zdarzenie A jest równa 4 / 16 ; p(A) = 4 / 16 = 1 / 4.
  
  Zdarzenie B jest iloczynem zdarzeń:
  B1 - wyciągniemy nie-marcepana za pierwszym razem
  B2 - wyciągniemy marcepana za drugim razem
  B2 | B1 - marcepan za drugim razem POD WARUNKIEM zajścia B1
  
  Prawdopodobieństwa te są równe:
  p(B1) = 12 / 16 oraz p(B2 | B1) = 4 / 15
  gdyż zostało 15 czekoladek w tym nadal jest 4 marcepanowe
  
  p(B_1 \cap B_2)= p(B_2 | B_1)\cdot p(B_1)=\frac{4}{15}\cdot\frac{12}{16}=\frac{1}{5}
  
  Suma wynosi:
  
  p(A \cup B)= \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 0{,}45
  
  czyli jest mniejsze niż 1/2.
  ==============================
  
  b)
  Rozumiem, że chodzi o zakończenie losowania DOKŁADNIE po trzeciej karcie.
  Oznaczmy zdarzenia:
  A - wyciągnięcie pierwszej karty
  B - wyciągnięcie drugiej karty
  C - wyciągnięcie trzeciej karty
  Każde z tych zdarzeń rozbija się na rozłączne i dopełniające się zdarzenia:
  A1 - wyciągnięcie asa ; A2 - wyciągnięcie nie-asa ; podobnie B1, B2, C1, C2.
  
  Zauważ, że warunki zadania zostaną spełnione przez następujące zdarzenie Z:
  
  Z = (A_1 \cap B_2 \cap C_1) \cup (A_2 \cap B_1 \cap C_1)
  
  czyli:
  - albo pierwszy as, drugi nie-as, trzeci as
  - albo pierwszy nie-as, potem dwa asy
  Obie sekwencje wykluczają się czyli ich prawdopodobieństwa dodajemy.
  
  Weźmy pierwszą sekwencję. Rozpisuje się ona na nieprzyjemny wzór:
  
  p(A_1 \cap B_2 \cap C_1) = p[C_1 | (A_1\cap B_2)]\cdot p(A_1\cap B_2)=
  
  i dalej:
  
  = p(A_1 \cap B_2 \cap C_1) = p[C_1 | (A_1\cap B_2)]\cdot p(B_2 | A_1)\cdot p(A_1)
  
  co czytamy jako iloczyn prawdopodobieństw takich:
  p(A1) - zaszło A1 czyli as w pierwszym losowaniu
  p(B2 | A1) - nie-as w drugim losowaniu POD WARUNKIEM, że był poprzednio był as
  p(C1 | (A1 n B2) - as w trzecim losowaniu POD WARUNKIEM zajścia obu zdarzeń poprzednich.
  
  p(A1) = 4 / 52 = 1 / 13 ; bo jest 4 asy w talii 52 kart
  p(B2 | A1) = 48 / 51 ; bo zostało 51 kart w tym nadal 48 nie-asów
  p(C1 | (A1 n B2) = 3 / 50 ; bo zostało 3 asy w 50 kartach, czyli:
  
  p(A_1 \cap B_2 \cap C_1) =\frac{4}{52}\cdot \frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}=\frac{24}{5525}
  
  Teraz liczymy drugą sekwencję:
  
  p(A_2 \cap B_1 \cap C_1) = p[C_1 | (A_2\cap B_1)]\cdot p(B_1 | A_2)\cdot p(A_2)
  
  p(A2) = 48 / 52 = 12 / 13 ; bo jest 48 nie-asów w talii 52 kart
  p(B1 | A2) = 4 / 51 ; bo zostało 51 kart w tym nadal 4 asy
  p(C1 | (A2 n B1) = 3 / 50 ; bo zostało 3 asy w 50 kartach, czyli:
  
  p(A_2 \cap B_1 \cap C_1) =\frac{48}{52}\cdot \frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}=\frac{24}{5525}
  
  Suma obu przypadków: 24 / 5525 + 24 / 5525 = 48 / 5525
  jest odpowiedzią na pytanie (b)
  ==============================
  
  c)
  Dokładnie ta sama sytuacja co w (b) tylko liczenie jest prostsze, bo wszystkie prawdopodobieństwa wynoszą 1/2. Sekwencje rozwiązujące zadanie to:
  O - R - O lub R - O - O
  Każda z nich realizuje się na (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.
  Suma obu przypadków: 1/8 + 1/8 = 1 / 4 jest odpowiedzią.
  Wzory przepisz, tylko napisz
  A1 - w pierwszym rzucie wypadł orzeł; A2 - wypadła reszka itd.
  ==============================
  
  d)
  Oznaczamy jak poprzednio:
  A1 - orzeł w pierwszym rzucie, A2 - reszka w pierwszym rzucie,
  podobnie B1, B2 i C1, C2.
  Sekwencje kończące zadanie to:
  O - orzeł w pierwszym rzucie kończy zadanie, p(A1) = 1/2
  R - O - orzeł w drugim rzucie kończy
  R - R - O - orzeł w trzecim rzucie kończy.
  Te zdarzenia wykluczają się wzajemnie, do policzenia jest więc:
  
  p(Z) = p(A_1) + p(A_2 \cap B_1) + p(A_2 \cap B_2 \cap C_1)
  
  Nie ma potrzeby rozpisywać tego na prawdopodobieństwa warunkowe,
  bo masz dokładnie określone:
  p(A1) = 1/2
  p(A2 n B1) = (1/2) * (1/2) = 1/4
  p(A2 n B2 n C1) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8
  
  więc p(Z) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7 / 8
  ==============================
  
  Przepraszam, że nie wszystko piszę w LaTeX'u. W razie pytań pisz proszę na priv.
  Mogłem się pomylić, bo to zadanie rozwiązuję "na raty" w odstępie kilku godzin.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie