Treść zadania

RozwiÄ…zania

• 

  2 0

  antekL1 7.9.2016 (03:05)

  [ Czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi". Np: 2^3 = 8 ]
  
  Czyli masz znaleźć asymptoty funkcji: f(x) = x e^(1/x)
  "Ciekawe" zachowanie f(x) występuje albo w nieskończoności, albo w zerze.
  ------------
  
  Załatwmy najpierw "na szybko" obie nieskończoności.
  Rozwinięcie e^(1/x) w szereg to: 1 + 1/x + (1/2!)(1/x^2) + (1/3!)(1/x)^3 + ...
  Po pomnożeniu tego szeregu przez x dostajesz:
  
  x + 1 + (1/2!)(1/x) + (1/3!)(1/x)^2 + ...
  
  Dla nieskończonego x wszystkie wyrazy zawierające 1/x dążą do zera
  więc UKOŚNA asymptota to y = x + 1 (dla x --> +/- oo)
  Jeśli tu się pomyliłem - pisz na priv, ale chodzi Ci bardziej o to co niżej,
  tak ??
  -------------
  
  Teraz dla x-->0
  
  NIE pisz, Kobieto:
  "Asyptota pionowa lewostronna wyszła mi 0" - to nie ma sensu !
  
  Z lewej strony: 1/x --> - oo, a ponieważ e^(- oo) = 0 to całe wyrażenie --> 0
  To NIE jest asymptota tylko **granica lewostronna** tej funkcji !
  Przynajmniej ja bym tak to nazwał.
  Bo "asymptota" to jakaś funkcja, niekoniecznie linia prosta do której dąży inna funkcja w jakimś otoczeniu. A jeśli funkcja dąży do punktu to jak to nazwać ???
  
  
  Z prawej strony granica f(x) = +oo, mamy więc asymptotę pionową
  o wzorze x = 0
  
  Dowód:
  Wprowadźmy zmienną z = 1/x ; określoną dla x > 0
  Twoją funkcję można teraz zapisać jako:
  
  f(z) = e^z / z ; i badamy granicÄ™ gdy z --> +oo [ to samo gdy x --> 0+ ]
  
  Spełnione są warunki stosowania twierdzenia "delopitala" :) [ pisownia...]
  licznik i mianownik dążą do oo, są różniczkowalne.
  Więc różniczkujemy po "z" OSOBNO licznik i mianownik, co daje:
  
  lim (e^z / z) = lim (e^z / 1) = +oo ; dla z --> +oo
  
  Koniec zabawy. Masz pionowÄ… asymptotÄ™ w punkcie x --> 0+
  Wzór asymptoty: x = 0 <----- to opisuje pionową prostą
  ====================
  
  Jeśli nie wolno Ci stosować twierdzenia de l’Hospitala to rozwiń e^z w szereg
  i masz:
  f(z) = (1 + z + z^2/2 + ...) / z = 1/z + 1 + z/2 + ... --> +oo
  
  Jak i tego i tego nie wolno to nie wiem, co robić, w końcu nie musimy wszystkiego wyprowadzać "z definicji". To już zależy od wykładowcy i asystenta od ćwiczeń. Da się zrobić "z definicji" tylko uuuuupierdliwe !
  
  Pisz na priv w razie pytań.
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie