Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 16.6.2016 (11:56)

  Przeczytaj proszę najpierw rozwiązanie zadania:
  www.zaliczaj.pl
  Tam jest nieco teorii.
  -----------------
  
  Pierwsza część zadania:
  Oznaczamy:
  Pierwszy punkt: x0 = 3; y0 = 9
  Drugi punkt: x1 = 4; y1 = 6
  Trzeci punkt: x2 = 5; y2 = 5
  
  Funkcje bazowe Newtona to wielomiany pn: gdzie:
  p0(x) = 1
  p1(x) = x - x0 = x - 3
  p2(x) = (x - x0)(x - x1) = (x - 3)(x - 4) = x^2 - 7x + 12
  -----------------
  
  Druga część zadania. Nie jestem pewien, czy o to chodzi.
  Do wzoru na w(x) = b0 * p0(x) + b1 * p1(x) + b2 * p2(x)
  podstawiamy kolejno współrzędne podanych punktów. Wielomiany pn(x) są powyżej.
  
  Pierwszy punkt: 9 = b0 + b1 * (3 - 3) + b2 * (3 - 3)(3 - 4) = b0
  Drugi punkt: 6 = b0 + b1 * (4 - 3) + b2 * (4 - 3)(4 - 4) = b0 + b1
  Trzeci punkt: 5 = b0 + b1 * (5 - 3) + b2 * (5 - 3)(5 - 4) = b0 + 2 b1 + 2 b2
  
  Daje to układ trzech równań na niewiadome b0, b1, b2:
  b0 = 9
  b0 + b1 = 6
  b0 + 2 b1 + 2 b2 = 5
  ==================================== koniec zadania.
  
  Sprawdzenie:
  Interpolujemy parabolą. Obliczamy różnice f [...] potrzebne do wzoru:
  w(x) = b0 + b1(x - x1) + b2(x - x0)(x - x1)
  
  f [ 0 ] = b0 = y0 = 9
  
  b1 = f [ 0, 1 ] = (y1 - y0) / (x1 - x0) = (6 - 9) / (4 - 3) = -3 / 1 = -3
  f [ 1, 2 ] = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 6) / (5 - 4) = - 1
  
  b2 = f [ 0, 1, 2 ] = ( f [ 1, 2 ] - f [ 0, 1 ] ) / (x2 - x0) = (-1 - (-3)) / (5 - 3) = 1
  
  Dostaje się te same bn co z rozwiązania układu równań z zadania.
  Wielomian interpolacyjny ma postać:
  
  w(x) = 9 - 3(x - 3) + 1(x - 3)(x - 4) = x^2 - 10x + 30
  
  Faktycznie: w(3) = 9; w(4) = 6; w(5) = 5.
  
  W załączniku masz wykres w(x) [ czerwony ] i wykres y = 3x / (x - 2) [ czarny ].
  Widać, jak interpolacja "rozchodzi się" na zewnątrz przedziału <3; 5>
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie