Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 24.5.2016 (07:20)

  Najpierw liczymy pierwsze pochodne, a potem pochodne pochodnych. Przypominam, że przy liczeniu pochodnej mieszanej (po x i po y) kolejność różniczkowania nie gra roli.
  
  a)
  \frac{\partial}{\partial x}\sin(x^2 y)=2xy\,\cos(x^2 y)
  
  \frac{\partial}{\partial y}\sin(x^2 y)=x^2\,\cos(x^2 y)
  
  i teraz kolejno:
  
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}\sin(x^2 y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[2xy\,\cos(x^2 y) \right ]=2y\,\cos(x^2 y)-4x^2y^2\,\sin(x^2y)
  
  \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\sin(x^2 y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[2xy\,\cos(x^2 y) \right ]=2x\,\cos(x^2y)-2x^3y\,\sin(x^2y)
  
  Dla sprawdzenia - zmieniamy kolejność różniczkowania. MUSI wyjść to samo:
  
  \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\sin(x^2 y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[x^2\,\cos(x^2 y) \right ]=2x\,\cos(x^2y)-2x^3y\,\sin(x^2y)
  
  \frac{\partial^2}{\partial y^2}\sin(x^2 y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[x^2\,\cos(x^2 y) \right ]=-x^4\,\sin(x^2y)
  
  ====================
  
  b)
  Tutaj nie ma nic nadzwyczajnego, liczymy pochodne ilorazu. Aby się nie pomylić użyłem programu do symbolicznego różniczkowania. Wychodzi:
  
  \frac{\partial}{\partial x}\,\frac{x^2+y}{x-y}=\frac{2x}{x-y}-\frac{x^2+y}{(x-y)^2}=\frac{x^2-y-2xy}{(x-y)^2}
  
  \frac{\partial}{\partial y}\,\frac{x^2+y}{x-y}=\frac{1}{x-y}+\frac{x^2+y}{(x-y)^2}=\frac{x(1+x)}{(x-y)^2}
  
  i następnie drugie pochodne:
  
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}\,\frac{x^2+y}{x-y}=-\frac{4x}{(x-y)^2}+\frac{2}{x-y}+\frac{2(x^2+y)}{(x-y)^3}=\frac{2y(1+y)}{(x-y)^3}
  
  \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\,\frac{x^2+y}{x-y}=-\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{2x}{(x-y)^2}-\frac{2(x^2+y)}{(x-y)^3}=-\frac{x+y+2xy}{(x-y)^3}
  
  \frac{\partial^2}{\partial y^2}\,\frac{x^2+y}{x-y}=\frac{2}{(x-y)^2}+\frac{2(x^2+y)}{(x-y)^3}=\frac{2x(1+x)}{(x-y)^3}
  
  Po podstawieniu x = 1; y = -1 do powyższych wzorów dostajemy: 0; 1/4; 1/2.
  ====================
  
  c)
  Przypominam, że pochodna arctg(t) to 1 / (1 + t^2)
  
  \frac{\partial}{\partial x}\,\arctan\frac{x}{y}=\frac{1}{y}\,\frac{1}{1+(x/y)^2}
  
  \frac{\partial}{\partial y}\,\arctan\frac{x}{y}=\frac{-x}{y^2}\,\frac{1}{1+(x/y)^2}
  
  Pochodne drugiego rzędu już po uproszczeniu powstających kopiastych ułamków:
  
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}\,\arctan\frac{x}{y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
  
  \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}\,\arctan\frac{x}{y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
  
  \frac{\partial^2}{\partial y^2}\,\arctan\frac{x}{y} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
  
  ====================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie