Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.4.2016 (19:10)

  9. Zakładamy, że x > 0 we wszystkich przypadkach.
  a)
  Proporcja ("krótsze odcinki do "krótsze plus dłuższe")
  
  x / 5 = (3x + 1) / (6x + 5,5) ; mnożymy "na krzyż"
  x (6x + 5,5) = 5 (3x + 1) ; wymnażamy nawiasy i porządkujemy
  6x^2 - 9,5x - 5 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe, ale zapiszmy 9,5 jako 19/2
  6x^2 - (19/2)x - 5 = 0
  delta = (19/2)^2 - 4 * 6 * (-5) = 841/4 ; pierwiastek(delta) = 29/2
  x1 = (19/2 - 29/2) / 12 - odrzucamy, bo jest ujemne
  x2 = (19/2 + 29/2) / 12 = 48 / 24 = 2 <------------- rozwiązanie
  
  b)
  Proporcja ("bardziej pionowe odcinki do bardziej poziomych")
  
  (2x - 2) / x = (2x + 10/3) / (2x + 1) ; mnożymy "na krzyż"
  (2x - 2)(2x + 1) = x (2x + 10/3) ; wymnażamy nawiasy i porządkujemy
  2x^2 - (16/3)x - 2 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = (16/3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 400/9 ; pierwiastek(delta) = 20/3
  x1 = (16/3 - 20/3) / 4 ; odrzucamy bo ujemne
  x2 = (16/3 + 20/3) / 4 = 36 / 12 = 3 <------------- rozwiązanie
  
  c)
  Proporcja ("krótsze odcinki do "krótsze plus dłuższe")
  
  x / (x + 3) = (3x - 3) / (3x+4) ; mnożymy "na krzyż"
  x (3x+4) = (x+3)(3x-3) ; wymnażamy nawiasy i porządkujemy
  2x - 9 = 0
  x = 9 / 2 <------------ rozwiązanie
  ============================
  
  10.
  a)
  Zakładamy, ze a jest różne od zera
  a + 1 / a = 2 i 4/63 ; czyli = 130 / 63 ; mnożymy przez a
  a^2 - (130/63) a + 1 = 0 ; rozwiązujemy
  Delta = (130/63)^2 - 4 * 1 * 1 = 1024/3969 ; pierwiastek(delta) = 32/63
  a1 = (130/63 - 32/63) / 2 = 7 / 9
  a2 = (130/63 + 32/63) / 2 = 9 / 7
  Nic dziwnego, że jeden z pierwiastków jest odwrotnością drugiego, prawda :)
  
  b)
  Oznaczmy te liczby przez x , y. Zakładamy, że są one różne od zera.
  
  x - y = 1
  1 / x + 1 / y = 2
  
  Drugie równanie mnożymy przez iloczyn x y, zastępujemy x przez y + 1
  
  y + x = 2 x y
  y + y + 1 = 2 (y + 1) y ; wymnażamy nawias i porządkujemy
  2y^2 - 1 = 0 ; stąd:
  
  y1 = pierwiastek(1/2) ; oraz x1 = 1 + pierwiastek(1/2)
  y2 = - pierwiastek(1/2) ; oraz x2 = 1 - pierwiastek(1/2)
  
  ============================
  
  11.
  Wiemy, ze |AB| = 5.
  Wiemy też, ze |EB| = 5 - |AE| ; oraz |AE| = |EF| = |CB| bo AEFD to kwadrat.
  Z podanej w zadaniu proporcji wynika, że:
  
  5 / |CB| = |CB| / (5 - |CB|) ; oznaczmy dla skrótu |CB| przez x
  5 / x = x / (5 - x) ; wymnażamy na "krzyż"
  5 (5 - x) = x^2 ; porządkujemy
  x^2 + 5x - 25 = 0 ; rozwiązujemy to równanie
  delta = 5^2 - 4*1*(-25) = 125 ; pierwiastek(delta) = 5 * pierwiastek(5)
  
  x1 = (-5 - 5 * pierwiastek(5)) / 2 ; odrzucamy jako ujemne
  x1 = (-5 + 5 * pierwiastek(5)) / 2 = (5/2) [ pierwiastek(5) - 1] = około 3,09
  
  (Swoją drogą:
  Przy "złotym podziale" stosunek krótszy : dłuższy jest równy około 0,618034 )
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie