Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.3.2016 (10:51)

  [ Czytaj proszę ^n jako "do potęgi n" ]
  
  Załącznik "zadania3.jpg"
  We wszystkich przykładach poza (d) [ także w (b) ! ] staramy się sprowadzić wyrażenie do postaci: (1 + 1/n)^n
  i korzystamy z twierdzenia że granica (1+1/n)^n = e gdy n --> oo.
  
  a)
  (2x - 5) / (2x + 1) = (2x + 1 - 6) / (2x + 1) = 1 - 6 / (2x+1)
  Podstawiamy 1 / n = - 6 / (2x + 1) stąd x = - (6n + 1) / 2 = -3n - 1/2.
  Nasza granica przechodzi w granicę dla n-->oo z wyrażenia:
  
  (1 + 1/n)^(-3n - 1/2) = [ (1 + 1/n)^n ]^(-3) * (1 + 1/n)^(-1/2)
  
  Druga część tego wyrażenia dąży do 1, a pierwsza dąży do e^(-3)
  Szukana granica wynosi więc 1 / e^3
  
  b)
  Dla małych x funkcja sin(x) jest w przybliżeniu równa x.
  Podstawiamy 1 / n = x i mamy granicę z:
  (1 + 1/n)^2n = [ (1 + 1/n)^n ]^2 co dąży do e^2
  
  c)
  Wyrażenie, którego granicę liczymy można rozpisać tak:
  oznaczmy: A = (3x^2 - 1) / (3x^2 + 1). Wtedy:
  
  A^(-2x^3 + 1) = [ A^(-2x) ]^x * A
  
  Granica A^(-2x) jest skończona bo:
  A = ((3x^2 + 1 - 2) / (3x^2 + 1) = 1 - 2 / (3x^2 + 1)
  Podstawiamy 1 / n = - 2 / (3x^2 + 1) ; stąd x^2 = - (2n + 1) / 3
  i mamy
  A^(-2x) = (1 + 1/n)^[ (2/3)(2n + 1) ] = [ (1 + 1/n)^n ]^(4/3) * (1 + 1/n)^(2/3)
  co daje w granicy e^(4/3)
  
  Liczba e^(4/3) jest większa od 1, więc cała granica zachowuje się jak
  lim [ e^(4/3) ]^x co dąży do nieskończoności i taka jest szukana granica.
  
  d)
  Tutaj obejdzie się bez postaci (1+1/n)^n.
  Dzielimy licznik i mianownik ułamka w nawiasie przez x i mamy granicę z:
  
  [ (1 + 1/x) / (2 - 1/x) ]^x
  
  Gdy x --> oo to ułamek dąży do 1 / 2 (czyli liczby mniejszej od 1)
  Mamy granicę wyrażenia postaci (1 / 2)^x co w nieskończoności dąży do zera.
  I taka jest granica w przykładzie (d).
  =========================================
  
  Załącznik "zadania2.jpg"
  a)
  Granicą jest po prostu liczba sin(4) / 2
  
  b)
  Dla małych x zarówno sin(x) jak i tg(x) zachowują się jak x.
  Wobec tego ułamek z zadania dąży do (5x) / (3x) = 5 / 3
  i taka jest granica w tym przupadku.
  
  c)
  Granica jest nieokreślona
  Wyrażenie z przykładu można sprowadzić do postaci
  
  [ (1 - 2 cos 2x) / (1 + 2 cos 2x) ]^2
  
  Funkcja kosinus oscyluje między -1 i 1, więc licznik lub mianownik są zerami dla pewnych wartości x, a wtedy cale wyrażenie może być zerem lub nieskończonością,
  Nie da się znaleźć liczby N począwszy od której wyrazy ciągu są zawsze większe od pewnej ustalonej liczby, lub zawierają się w "epsilonowym" przedziale wokół skończonej wartości, czyli nie da się znaleźć granicy tego ciągu Z DEFINICJI.
  =========================================
  
  Proszę zamieść zadanie 1 oddzielnie bo ten tekst staje się za długi.
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  =========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie