Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.3.2016 (18:12)

  Zastanawiałem się nad parametrami m, k, b. W końcu wydaje mi się, że parametr b to ten, który występuje we wzorze na siłę oporu F cieczy na rysunku czyli
  F = - b v ; gdzie v - prędkość łopatki.
  
  Wtedy równanie różniczkowe oscylatora to:
  
  m x'' + b x' + k x = 0 ; gdzie:
  
  x'' - druga pochodna położenia po czasie (czyli przyspieszenie)
  x' - pierwsza pochodna położenia po czasie (czyli prędkość).
  
  Dlaczego to piszę? Bo np. Wikipedia podaje nieco inne równanie:
  x'' + 2 β x' + ω^2 x = 0 ; gdzie: 2β = b / m oraz ω^2 = k / m.
  Ale myślę, że chodzi o to pierwsze równanie. Wtedy położenie od czasu zależy tak:
  [ czytaj exp(y) jako e^y ]
  
  x(t) = Ao exp [ - b t / (2m) ] cos(ω1 t + φ) <================ wzór (1)
  gdzie:
  
  "cos(...)" jest istotny, bo tłumiony układ w czasie t=0 trzeba wychylić z położenia równowagi, aby w ogóle zaszły jakieś drgania. Chyba że przyjmiemy niezerową fazę, nieważne :)
  ω1 jest częstością tłumionego oscylatora, INNĄ niż pierwiastek(k/m)
  φ - faza, nie obchodzi nas w tym zadaniu
  Ao - amplituda początkowa [ w odróżnieniu od malejącej w czasie amplitudy A(t) ]
  
  ω1 = pierwiastek [ k / m - b^2 / (4 m^2) ]
  
  [ zauważ, że gdy b = 0 to ω1^2 = ω^2 = k / m - częstość nietłumionego oscylatora.
  i że ten wzór ma sens, gdy tłumienie jest małe - o tym niżej.
  -------------------------
  
  Jeszcze jedna uwaga: Musimy określić, jak duże jest tłumienie, tzn. czy pojakwią się w ogóle oscylacje. To na pewno było na wykładzie - gdy rozwiązujemy równanie różniczkowe oscylatora to piszemy tzw. równanie charakterystyczne w postaci:
  
  m y^2 + b y + k = 0
  
  i obliczamy z niego "delta" = b^2 - 4 m k
  Jeśli ta delta jest ujemna to możliwy jest ruch drgający (tłumiony).
  Weźmy dane z zadania, tylko masę m zapiszmy jako 0,25 kg oraz b = 0,07 kg/s
  i wyliczmy tą "deltę"
  
  delta = 0,07^2 - 4 * 0,25 * 85 = około minus 85
  delta jest zdecydowanie ujemna, tłumienie jest bardzo słabe.
  Będzie zachodził ruch drgający. WAŻNE, aby ten warunek sprawdzić !
  Przechodzimy do właściwego rozwiązania.
  ---------------------------
  
  a)
  Okres drgań T = 2π / ω1 ; gdzie wzór na ω1 jest powyżej.
  Wstawiamy dane (nie zapomnij o zamianie gramów na kg)
  
  ω1 = pierwiastek [ 85 / 0,25 - 0,07^2 / (4 * 0,25^2) ] = około 18,4 rad/s
  
  T = 2π / 18,4 = około 0,34 s
  
  Sprawdzamy wymiar. Część k/m wzoru na omega sprawdzałem w innym zadaniu.
  Druga część to:
  [ b^2 / (4 m^2) ] = (kg^2/s^2) / kg^2 = 1/s^2
  co pod pierwiastkiem i w odwrotności daje sekundy.
  ----------------------------
  
  b)
  We wzorze (1) tam wysoko na górze "nieoscylującą" cześć nazywamy amplitudą:
  
  A(t) = Ao exp [ - b t / (2m) ]
  
  Ma zachodzić: A(t) = (1/2) Ao ; czyli
  
  exp [ - b t / (2m) ] = 1 / 2 ; logarytmujemy obie strrony
  
  - b t / (2 m) = ln(1 / 2) ; stąd:
  
  czas t = - (2m / b) ln(1 / 2) ; wstawiamy dane:
  
  t = - (2 * 0,25 / 0,07) * ln(1/2) = około 4,95 s
  
  Sprawdzamy wymiar:
  [ 2m / b ] = kg / (kg/s) = s. Jest OK.
  ----------------------------
  
  c)
  Energia E oscylatora wyraża się wzorem: E = (1/2) k A^2. [ A - amplituda ]
  Skoro energia maleje dwukrotnie to amplituda maleje pierwiastek(2) raza,
  czyli:
  
  A(t1) / Ao = 1 / pierwiastek(2) ; stąd:
  
  exp [ - b t1 / (2m) ] = 1 / pierwiastek(2) ; licząc jak w podpunkcie (b) mamy
  
  t1 = około 2,47 s
  ======================================
  
  W razie pytań (bo jest to TRUDNE zadanie, albo jak się pomyliłem
  - pisz proszę na priv.
  
  Dziś muszę już wyjść na zakupy, a potem będę zajęty, reszta zadań pewnie jutro.
  Pozdrowienia - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie